Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Zusätzliche Differentialform/Eulersequenz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Koszulderivation ${}\partial _{3}(F)\partial _{1}-\partial _{1}(F)\partial _{3}$ schickt

${}D={\frac {-\delta _{2}ydx+\delta _{1}xdy}{\partial _{3}(F)}}\,$

auf ${}-\delta _{2}y$, das Bild ist also das maximale Ideal und die Abbildung hinten ist surjektiv. Die Eulerderivation ergibt mit ${}D$ verarbeitet

${}E(D)={\left(\delta _{1}x\partial _{1}+\delta _{2}y\partial _{2}+\delta _{3}z\partial _{3}\right)}{\frac {-\delta _{2}ydx+\delta _{1}xdy}{\partial _{3}(F)}}={\frac {-\delta _{1}\delta _{2}xy+\delta _{1}\delta _{2}xy}{\partial _{3}(F)}}=0\,.$

Auf ${}D(y)$ ist die Koszulderivation ${}{\frac {\partial _{3}(F)\partial _{1}-\partial _{1}(F)\partial _{3}}{-\delta _{2}y}}$ ein Urbild der ${}1$ und auf ${}D(x)$ ist ${}{\frac {\partial _{3}(F)\partial _{2}-\partial _{2}(F)\partial _{3}}{\delta _{1}x}}$ ein Urbild der ${}1$. Die Differenz ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\frac {\partial _{3}(F)\partial _{2}-\partial _{2}(F)\partial _{3}}{\delta _{1}x}}+{\frac {\partial _{3}(F)\partial _{1}-\partial _{1}(F)\partial _{3}}{\delta _{2}y}}\\&={\frac {\delta _{2}y\partial _{3}(F)\partial _{2}-\delta _{2}y\partial _{2}(F)\partial _{3}+\delta _{1}x\partial _{3}(F)\partial _{1}-\delta _{1}x\partial _{1}(F)\partial _{3}}{\delta _{1}\delta _{2}xy}}\\&={\frac {\delta _{1}x\partial _{3}(F)\partial _{1}+\delta _{2}y\partial _{3}(F)\partial _{2}-{\left(\delta _{1}x\partial _{1}(F)+\delta _{2}y\partial _{2}(F)\right)}\partial _{3}}{\delta _{1}\delta _{2}xy}}\\&={\frac {\delta _{1}x\partial _{3}(F)\partial _{1}+\delta _{2}y\partial _{3}(F)\partial _{2}+\delta _{3}z\partial _{3}(F)\partial _{3}}{\delta _{1}\delta _{2}xy}}\\&={\frac {\partial _{3}(F)}{\delta _{1}\delta _{2}xy}}{\left(\delta _{1}x\partial _{1}+\delta _{2}y\partial _{2}+\delta _{3}z\partial _{3}\right)}.\,\end{aligned}}$

Dies ist also ein Sockelelement gemäß Fakt.

Zur bewiesenen Aussage