Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Zusätzliche Differentialform/Fakt/Beweis

Beweis

Wir multiplizieren die definierende Gleichung für den Kählermodul mit ${}\delta _{1}x$ und erhalten

${}\delta _{1}x\left(\partial _{1}(F)dx+\partial _{2}(F)dy+\partial _{3}(F)dz\right)=\delta _{1}x\partial _{1}(F)dx+\delta _{1}x\partial _{2}(F)dy+\delta _{1}x\partial _{3}(F)dz=0\,.$

Unter Verwendung der Eulerderivation

${}E=\delta _{1}x\partial _{1}+\delta _{2}y\partial _{2}+\delta _{3}z\partial _{3}\,$

gilt

${}0=E(F)=\delta _{1}x\partial _{1}(F)+\delta _{2}y\partial _{2}(F)+\delta _{3}z\partial _{3}(F)\,$

und damit

${}-\left(\delta _{2}y\partial _{2}(F)+\delta _{3}z\partial _{3}(F)\right)dx+\delta _{1}x\partial _{2}(F)dy+\delta _{1}x\partial _{3}(F)dz=0\,$

bzw.

${}\partial _{2}(F)\left(-\delta _{2}ydx+\delta _{1}xdy\right)=\partial _{3}(F)\left(\delta _{3}zdx-\delta _{1}xdz\right)\,$

und folglich

${}{\frac {-\delta _{2}ydx+\delta _{1}xdy}{\partial _{3}(F)}}={\frac {\delta _{3}zdx-\delta _{1}xdz}{\partial _{2}(F)}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage