Ideal/Zwei minimale Erzeuger/Homogenisierung/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}{\mathfrak {a}}={\left(X^{2}-Y^{3},X-Y^{3}\right)}\,.$

Zu diesem Ideal gehört auch

${}X^{2}-X={\left(X^{2}-Y^{3}\right)}-{\left(X-Y^{3}\right)}\,.$

Es ist kein Hauptideal, da es oberhalb des Ideals nur endlich viele maximale Ideale gibt. Das angegebene Erzeugendensystem ist also minimal. Die Homogenisierungen der beiden Erzeuger sind ${}X^{2}Z-Y^{3}$ und ${}XZ^{2}-Y^{3}$,

die beide den Grad ${}3$ besitzen. Das davon erzeugte Ideal besitzt nur homogene ELemente vom Grad ${}\geq 3$. Die Homogenisierung von ${}X^{2}-X$ ist aber ${}X^{2}-XZ$ vom Grad ${}2$.

Zur gelösten Aufgabe