Inhomogene lineare Differentialgleichung/y' ist - sin t durch cos t y +(t^2-3) cos t/y(0) ist 7/Aufgabe/Lösung

a) Wir berechnen zuerst die Lösungen der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung

$y'=-{\frac {\sin t}{\cos t}}y.$

Eine Stammfunktion zu ${}g(t)=-{\frac {\sin t}{\cos t}}$ ist ${}G(t)=\ln {\left(\cos t\right)}$. Daher sind (mit $c\in \mathbb {R}$)

${}c\cdot e^{\ln {\left(\cos t\right)}}=c\cdot \cos t\,$

die Lösungen der homogenen Gleichung.

Zur Bestimmung einer Lösung der inhomogenen Gleichung müssen wir eine Stammfunktion zu

$(t^{2}-3)\cdot \cos t\cdot (\cos t)^{-1}=t^{2}-3$

bestimmen. Eine solche ist ${}{\frac {1}{3}}t^{3}-3t$. Somit sind die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung gleich

${\left({\frac {1}{3}}t^{3}-3t\right)}\cos t+c\cdot \cos t,c\in \mathbb {R} .$

b) Zur Lösung des Anfangswertproblems müssen wir das ${}c$ aus Teil a) bestimmen. Die Anfangsbedingung führt auf

${}c\cos 0=7\,,$

also ist ${}c=7$ und

${\left({\frac {1}{3}}t^{3}-3t\right)}\cos t+7\cdot \cos t$

ist die Lösung des Anfangswertproblems.

Zur gelösten Aufgabe