Inhomogene lineare Differentialgleichung/y' ist - sin t durch cos t y +(t^2-3) cos t/y(0) ist 7/Aufgabe/Lösung

a) Wir berechnen zuerst die Lösungen der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung

$y^{\prime }=-\frac{\sin t}{\cos t}y.$

Eine Stammfunktion zu $g(t)=-\frac{\sin t}{\cos t}$ ist $G(t)=\ln (\cos t)$. Daher sind (mit $c\in ℝ$)

$c\cdot e^{\ln (\cos t)}=c\cdot \cos t$

die Lösungen der homogenen Gleichung.

Zur Bestimmung einer Lösung der inhomogenen Gleichung müssen wir eine Stammfunktion zu

$(t^2-3)\cdot \cos t\cdot (\cos t{)}^{-1}=t^2-3$

bestimmen. Eine solche ist $\frac{1}{3}{t}^3-3t$. Somit sind die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung gleich

$(\frac{1}{3}{t}^3-3t)\cos t+c\cdot \cos t,c\in ℝ.$

b) Zur Lösung des Anfangswertproblems müssen wir das $c$ aus Teil a) bestimmen. Die Anfangsbedingung führt auf

$c\cos 0=7,$

also ist $c=7$ und

$(\frac{1}{3}{t}^3-3t)\cos t+7\cdot \cos t$

ist die Lösung des Anfangswertproblems.

Zur gelösten Aufgabe