Es sei
G
⊆
C
{\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }
D
:=
D
r
(
z
o
)
⊂
G
{\displaystyle D:=D_{r}(z_{o})\subset G}
D
¯
⊆
G
{\displaystyle {\bar {D}}\subseteq G}
f
:
G
→
C
{\displaystyle f\colon G\to \mathbb {C} }
f
(
z
)
=
1
2
π
i
∫
∂
D
f
(
w
)
w
−
z
d
w
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw}
für jedes
z
∈
D
{\displaystyle z\in D}
Der Beweis für den CIF für Kreisscheiben erfolgt in den folgenden Schritten:
Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt
z
∈
U
{\displaystyle z\in U}
g
:
U
→
C
{\displaystyle g\colon U\to \mathbb {C} }
z
{\displaystyle z}
f
{\displaystyle f}
g
(
z
)
=
f
′
(
z
)
{\displaystyle g(z)=f'(z)}
f
{\displaystyle f}
Damit ist
g
{\displaystyle g}
f
{\displaystyle f}
Nun wendet man das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes an. Durch leichte Vergrößerung des Radius der Kreisscheibe finden wir eine offene Kreisscheibe
U
{\displaystyle U}
D
¯
⊆
U
⊆
G
{\displaystyle {\bar {D}}\subseteq U\subseteq G}
g
:
U
→
C
{\displaystyle g\colon U\to \mathbb {C} }
g
(
w
)
:=
{
f
(
w
)
−
f
(
z
)
w
−
z
w
≠
z
f
′
(
z
)
w
=
z
{\displaystyle g(w):=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {f(w)-f(z)}{w-z}}&w\neq z\\f'(z)&w=z\end{array}}\right.}
Dann ist
g
{\displaystyle g}
U
{\displaystyle U}
U
−
{
z
}
{\displaystyle U-\{z\}}
Integralsatz von Cauchy auf
U
{\displaystyle U}
anwenden und erhalten
0
=
∫
∂
D
g
(
w
)
d
w
=
∫
∂
D
f
(
w
)
w
−
z
d
w
−
f
(
z
)
∫
∂
D
d
w
w
−
z
{\displaystyle 0=\int _{\partial D}g(w)\,dw=\int _{\partial D}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw-f(z)\int _{\partial D}{\frac {dw}{w-z}}}
Für
z
∈
D
{\displaystyle z\in D}
h
(
z
)
:=
∫
∂
D
d
w
w
−
z
{\displaystyle h(z):=\int _{\partial D}{\frac {dw}{w-z}}}
h
{\displaystyle h}
holomorph mit
h
′
(
z
)
=
−
∫
∂
D
d
w
(
w
−
z
)
2
{\displaystyle h'(z)=-\int _{\partial D}{\frac {dw}{(w-z)^{2}}}}
Da der Integrand
d
w
(
w
−
z
)
2
{\displaystyle {\frac {dw}{(w-z)^{2}}}}
D
{\displaystyle D}
h
′
(
z
)
=
−
∫
∂
D
d
w
(
w
−
z
)
2
=
0
{\displaystyle h'(z)=-\int _{\partial D}{\frac {dw}{(w-z)^{2}}}=0}
Da
h
′
(
z
)
=
0
{\displaystyle h'(z)=0}
D
{\displaystyle D}
h
{\displaystyle h}
h
(
z
)
{\displaystyle h(z)}
h
(
z
0
)
{\displaystyle h(z_{0})}
D
{\displaystyle D}
h
(
z
o
)
=
2
π
i
{\displaystyle h(z_{o})=2\pi i}
0
=
∫
∂
D
f
(
w
)
w
−
z
d
w
−
f
(
z
)
∫
∂
D
d
w
w
−
z
⟺
f
(
z
)
=
1
2
π
i
∫
∂
D
f
(
w
)
w
−
z
d
w
{\displaystyle 0=\int _{\partial D}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw-f(z)\int _{\partial D}{\frac {dw}{w-z}}\iff f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw}
Das war die Behauptung.
◻
{\displaystyle \quad \Box }
