Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben

Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben

Es sei $G \subseteq ℂ$ eine offene Menge, $D := D_{r} (z_{o}) \subset G$ eine Kreisscheibe mit $\bar{D} \subseteq G$ und $f : G \to ℂ$ holomorph. Dann gilt

f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{\partial D} \frac{f (w)}{w - z} d w

für jedes $z \in D$ .

Beweis - CIF für Kreisscheiben

Der Beweis für den CIF für Kreisscheiben erfolgt in den folgenden Schritten:

Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt $z \in U$ eine Funktion $g : U \to ℂ$ definiert, die in $z$ der Ableitung von $f$ entspricht $g (z) = f^{'} (z)$ und sonst dem Differenzenquotient von $f$ .
Damit ist $g$ als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von $f$ zumindest noch stetig.
Nun wendet man das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes an.

Beweis 1

Durch leichte Vergrößerung des Radius der Kreisscheibe finden wir eine offene Kreisscheibe $U$ mit $\bar{D} \subseteq U \subseteq G$ . Definiere $g : U \to ℂ$ durch

g (w) := {\begin{matrix} \frac{f (w) - f (z)}{w - z} & w \neq z \\ f^{'} (z) & w = z \end{matrix}

Beweis 2

Dann ist $g$ stetig auf $U$ und auf $U - {z}$ holomorph. Also dürfen wir den Integralsatz von Cauchy auf $U$ anwenden und erhalten

0 = \int_{\partial D} g (w) d w = \int_{\partial D} \frac{f (w)}{w - z} d w - f (z) \int_{\partial D} \frac{d w}{w - z}

Für $z \in D$ setze $h (z) := \int_{\partial D} \frac{d w}{w - z}$ . Dann ist $h$ holomorph mit

h^{'} (z) = - \int_{\partial D} \frac{d w}{(w - z)^{2}}

Beweis 3

Da der Integrand $\frac{d w}{(w - z)^{2}}$ eine Stammfunktion in $D$ hat, gilt

h^{'} (z) = - \int_{\partial D} \frac{d w}{(w - z)^{2}} = 0

Beweis 4

Da $h^{'} (z) = 0$ auf ganz so $D$ gilt, muss $h$ konstant sein. Damit folgt, dass $h (z)$ stets den gleichen Wert besitzt, wie im am Mittelpunkt $h (z_{0})$ der Kreisscheibe $D$ , d.h. gleich $h (z_{o}) = 2 π i$ ist. Damit ist

0 = \int_{\partial D} \frac{f (w)}{w - z} d w - f (z) \int_{\partial D} \frac{d w}{w - z} ⟺ f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{\partial D} \frac{f (w)}{w - z} d w

Das war die Behauptung. $◻$

Siehe auch

Kurs:Funktionentheorie