Integres Schema/Invertierbare Untergarben/Tensorierung und Produkt/Fakt

Es sei ${}X$ ein integres Schema und seien ${}{\mathcal {L}},{\mathcal {M}}\subseteq {\mathcal {Q}}$ invertierbare Untergarben der konstanten Garbe ${}{\mathcal {Q}}$ zum Funktionenkörper ${}Q(X)$.

Dann ist

${}{\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}\cong {\mathcal {L}}\cdot {\mathcal {M}}\,,$

wobei ${}{\mathcal {L}}\cdot {\mathcal {M}}$ diejenige Untergarbe von ${}{\mathcal {Q}}$ bezeichnet, die halmweise in jedem Punkt ${}P\in X$ aus allen Produkten ${}fg$ mit ${}f\in {\mathcal {L}}_{P}$ und ${}g\in {\mathcal {M}}_{P}$ erzeugt wird.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen