Integrierbare Funktion/Abzählbare Zerlegung des Raumes/Fakt

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und sei ${}M=\biguplus _{i\in I}M_{i}$ eine abzählbare Zerlegung in messbare Teilmengen.

Dann gilt für eine integrierbare messbare numerische Funktion die Beziehung

${}\int _{M}f\,d\mu =\sum _{i\in I}{\left(\int _{M_{i}}f\,d\mu \right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen