Integritätsbereich/Faktoriell/K-Spektrum/Algebraische Abbildung/Eindeutige Darstellung/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}U=\bigcup _{i\in I}D(H_{i})\,$

mit einer endlichen Menge ${}I$, und ${}f$ habe auf den ${}U_{i}$ eine Beschreibung der Form

${}f={\frac {F_{i}}{H_{i}}}\,$

im Sinne von

${}f(Q)={\frac {F_{i}(Q)}{H_{i}(Q)}}\,$

für alle  ${}Q\in D(H_{i})$.  Auf den Durchschnitten ${}D(H_{i})\cap D(H_{j})$ gilt

${}{\frac {F_{i}(Q)}{H_{i}(Q)}}=f(Q)={\frac {F_{j}(Q)}{H_{j}(Q)}}\,.$

Dies bedeutet

${}H_{j}(Q)F_{i}(Q)-H_{i}(Q)F_{j}(Q)=0\,$

für alle  ${}Q\in D(H_{i})\cap D(H_{j})$.  Damit ist ${}H_{i}H_{j}{\left(H_{j}F_{i}-H_{i}F_{j}\right)}$ auf ganz ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ die Nullabbildung. Wegen der Integrität und der algebraischen Abgeschlossenheit folgt daraus, dass

${}H_{i}H_{j}{\left(H_{j}F_{i}-H_{i}F_{j}\right)}=0\,$

in ${}R$ ist und damit, dass

${}H_{j}F_{i}-H_{i}F_{j}=0\,$

ist. Also ist

${}H_{j}F_{i}=H_{i}F_{j}\,.$

Aufgrund der eindeutigen Primfaktorzerlegung gibt es Elemente ${}A,B,C,D$ und eine Einheit ${}u$ mit

${}H_{j}F_{i}=(AB)(CD)=(u^{-1}AD)(uBC)=H_{i}F_{j}\,.$

Dann ist

${}{\frac {F_{i}}{H_{i}}}={\frac {uCD}{AD}}={\frac {uC}{A}}={\frac {uBC}{AB}}={\frac {F_{j}}{H_{j}}}\,$

und die Bruchbeschreibung ${}{\frac {uC}{A}}$ gilt auf ${}U_{i}\cup U_{j}$. In dieser Weise kann man die Indexmenge ${}I$ verkleinern bis sie einelementig wird.

Zur gelösten Aufgabe