Invariantenring/Formel von Molien/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Der lineare Automorphismus $\sigma$ ist nach Fakt diagonalisierbar, da er endliche Ordnung hat. In einer geeigneten Basis besitzt die duale Abbildung ${\sigma }^{\ast }$ die Gestalt

$X_i⟼{\xi }_i{X}_i.$

Auf der $d$-ten Stufe induziert dies den linearen Automorphismus

${\sigma }^{(d)}:K[V{]}_d⟶K[V{]}_d$

mit $X^{\nu }⟼{\xi }^{\nu }{X}^{\nu }$. Die Eigenvektoren von ${\sigma }^{(d)}$ sind die $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d-1}{d})$ verschiedenen Monome

$X_1^{{\nu }_1}\cdots X_n^{{\nu }_n}$

(es sei $n={\dim }_K\left(V\right)$) mit  ${\nu }_1+\cdots +{\nu }_n=d$  mit den Eigenwerten ${\xi }_1^{{\nu }_1}\cdots {\xi }_n^{{\nu }_n}$. Die Spur von ${\sigma }^{(d)}$ ist daher

$\mathrm{Spur}\left({\sigma }^{(d)}\right)=\sum _{|\nu |=d}{\xi }^{\nu }.$

Nach Fakt ergibt sich

${\dim }_K(K[V{]}_d^G)=\frac{1}{\mathrm{ord}\left(G\right)}\sum _{\sigma \in G}\mathrm{Spur}\left({\sigma }^{(d)}\right)$

mit

$\mathrm{Spur}\left({\sigma }^{(d)}\right)=\sum _{{\nu }_1+\cdots +{\nu }_n=d}{\xi }_1^{{\nu }_1}\cdots {\xi }_n^{{\nu }_n}.$

Damit ist unter Verwendung der geometrischen Reihe

$\begin{array}{cc}{\Phi }_G(z)& =\sum _{d=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{\mathrm{ord}\left(G\right)}\sum _{\sigma \in G}\mathrm{Spur}\left({\sigma }^{(d)}\right))z^d\\ & =\frac{1}{\mathrm{ord}\left(G\right)}\sum _{d=0}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{\sigma \in G}\sum _{{\nu }_1+\cdots +{\nu }_n=d}{\xi }_{\sigma ,1}^{{\nu }_1}\cdots {\xi }_{\sigma ,n}^{{\nu }_n})z^d\\ & =\frac{1}{\mathrm{ord}\left(G\right)}\sum _{\sigma \in G}\sum _{({\nu }_1,\dots ,{\nu }_n)\in {\mathbb{N}}^n}{\xi }_{\sigma ,1}^{{\nu }_1}\cdots {\xi }_{\sigma ,n}^{{\nu }_n}{z}^{{\nu }_1+\cdots +{\nu }_n}\\ & =\frac{1}{\mathrm{ord}\left(G\right)}\sum _{\sigma \in G}\left(\sum _{{\nu }_1=0}^{\mathrm{\infty }}{\xi }_{\sigma ,1}^{{\nu }_1}{z}^{{\nu }_1}\right)\cdots \left(\sum _{{\nu }_n=0}^{\mathrm{\infty }}{\xi }_{\sigma ,n}^{{\nu }_n}{z}^{{\nu }_n}\right)\\ & =\frac{1}{\mathrm{ord}\left(G\right)}\sum _{\sigma \in G}\frac{1}{(1-z{\xi }_{\sigma ,1})\cdots (1-{\xi }_{\sigma ,n})}\\ & =\frac{1}{\mathrm{ord}\left(G\right)}\sum _{\sigma \in G}\frac{1}{det(\mathrm{Id}-z\sigma )}.\end{array}$

Zur gelösten Aufgabe