Invariantenring/Konjugierte Untergruppen/Isomorph/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die beiden Untergruppen seien vermöge ${}\tau \in G$ zueinander konjugiert, d.h. die Abbildung

H\longrightarrow H',\,\sigma \longmapsto \tau ^{-1}\sigma \tau ,

sei ein Gruppenisomorphismus. Wir betrachten den zu ${}\tau$ gehörenden Ringautomorphismus

R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f\tau .

Für ${}f\in R^{H}$ und ${}\sigma '\in H'$ mit ${}\sigma '=\tau ^{-1}\sigma \tau$ ist

{}(f\tau )\sigma '=(f\tau )(\tau ^{-1}\sigma \tau )=f\sigma \tau =f\tau \,,

also liegt das Bild in

{}R^{H'}

. Da man die Rollen von

{}H

und

{}H'

vertauschen kann, liegt ein Isomorphismus vor.