Invariantenring/Untergruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Operation ist zunächst wohldefiniert, d.h. unabhängig vom Repräsentanten. Es seien dazu  ${}\sigma ,\sigma '\in G$  mit  ${}\sigma '\sigma ^{-1}\in H$  gegeben und  ${}f\in R^{H}$.  Dann ist

${}f\sigma '=f\sigma '\sigma ^{-1}\sigma =f\sigma \,.$

Wegen der Normalteilereigenschaft gibt es für  ${}\sigma \in G$  und  ${}\tau \in H$  ein  ${}\tau '\in H$  mit  ${}\sigma \tau =\tau '\sigma$.  Für  ${}f\in R^{H}$  ist

${}(f\sigma )\tau =f\tau '\sigma =f\sigma \,$

und somit gehört ${}f\sigma$ ebenfalls zu ${}R^{H}$. Wir haben also eine Abbildung

$R^{H}\times G\longrightarrow R^{H}.$

Diese Abbildung ist in der Tat eine Gruppenoperation. Das neutrale Element wirkt identisch und die Assoziativität ergibt sich aus

${}f([\sigma ][\tau ])=f[\sigma \tau ]=f(\sigma \tau )=(f\sigma )\tau =(f[\sigma ])\tau =(f[\sigma ])[\tau ]\,.$

Es liegt also eine Operation von ${}G$ auf ${}R^{H}$ vor, und da die Elemente  ${}\sigma \in H$  identisch wirken, induziert dies eine Operation von ${}G/H$ auf ${}R^{H}$. Bei den Abbildungen ${}f\mapsto f\sigma$ handelt es sich um Ringautomorphismen auf ${}R^{H}$, da es sich um Einschränkungen von Ringautomorphismen auf ${}R$ handelt, wobei sich die Surjektivität aus der Existenz von ${}\sigma ^{-1}$ ergibt.

Wir kommen zur Gleichheit

${}R^{G}={\left(R^{H}\right)}^{G/H}\,.$

Zum Beweis der Inklusion ${}\subseteq$ sei  ${}f\in R^{G}$.  Dann ist insbesondere  ${}f\in R^{H}$.  Wegen  ${}f[\sigma ]=f\sigma =f$  ist ${}f$ auch ${}G/H$- invariant. Zum Beweis der Inklusion ${}\supseteq$ sei  ${}f\in {\left(R^{H}\right)}^{G/H}\subseteq R^{H}$.  Doch dann ist für  ${}\sigma \in G$  wiederum

 ${}f\sigma =f[\sigma ]=f$. 

Zur gelösten Aufgabe