Invariantentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Ein Polynom  ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  heißt symmetrisch, wenn für jede Permutation  ${}\sigma \in S_{n}$  die Gleichheit

   ${}f=f^{\sigma }\,$

   besteht.

2. Die Operation heißt treu, wenn aus  ${}gx=x$  für alle  ${}x\in M$  folgt, dass  ${}g=e$  ist.
3. Der Monoidring ${}K[M]$ ist der ${}K$-Vektorraum

   ${}K[M]=\bigoplus _{m\in M}Ke_{m}\,$

   mit Basis ${}e_{m}$, ${}m\in M$, und der auf den Basiselementen durch

   ${}e_{m}\cdot e_{k}:=e_{m+k}\,$

   festgelegten Multiplikation.

4. Das Spektrum ist die Menge aller Primideale von ${}R$.
5. Eine endliche Untergruppe  ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$  heißt Reflektionsgruppe, wenn sie durch Pseudoreflektionen erzeugt wird.
6. Die Darstellung

   $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

   heißt irreduzibel, wenn  ${}V\neq 0$  ist und wenn die einzigen ${}G$-invarianten Untervektorräume ${}0$ und ${}V$ sind.

Zur gelösten Aufgabe