Invariantentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Eine Bahn ist eine Teilmenge der Form

   ${\left\{gx\mid g\in G\right\}}.$

2. Die alternierende Gruppe ist

   ${}A_{n}:={\left\{\sigma \in S_{n}\mid \operatorname {sgn} (\sigma )=1\right\}}\,.$

3. Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
4. Die Hilbert-Reihe ist die Potenzreihe

   ${}\Phi _{G}(z)=\sum _{d=0}^{\infty }\dim _{K}{\left(R_{d}^{G}\right)}z^{d}\,.$

5. Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}H$ eine kommutative ${}K$-Hopf-Algebra. Dann nennt man das Spektrum  ${}G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$  zusammen mit den induzierten ${}K$-Morphismen

   $\Delta ^{*}\colon G\times _{K}G\longrightarrow G,$

   $\epsilon ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(K\right)}\longrightarrow G$

   und

   $S^{*}\colon G\longrightarrow G$

   das zugehörige affine Gruppenschema.

6. Unter einer ${}K$-rationalen Darstellung von ${}G$ versteht man einen Gruppenhomomorphismus

   $G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

   mit einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$, die durch einen ${}K$-Hopf-Algebrahomomorphismus der Hopf-Algebren zu ${}G$ bzw. ${}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ induziert wird.

Zur gelösten Aufgabe