Invariantentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

1. Das ${}i$-te elementarsymmetrische Polynom in ${}n$ Variablen ist das Polynom

   ${}E_{i}:=\sum _{1\leq k_{1}<\ldots <k_{i}\leq n}X_{k_{1}}\cdots X_{k_{i}}\,.$

2. Die ${}R$-Algebra ${}A$ heißt ${}D$-graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

   ${}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$

   mit ${}R$-Untermoduln ${}A_{d}$ derart gibt, dass  ${}R\subseteq A_{0}$  ist und für die Multiplikation auf ${}A$ die Beziehung

   ${}A_{d}\cdot A_{e}\subseteq A_{d+e}\,$

   gilt.

3. Der Modul ${}M$ heißt endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem für ihn gibt.
4. Eine kommutative ${}K$-Algebra ${}H$ heißt Hopf-Algebra, wenn es fixierte ${}K$-Algebrahomomorphismen

   $\Delta \colon H\longrightarrow H\otimes _{K}H,$

   $\epsilon \colon H\longrightarrow K$

   und

   $S\colon H\longrightarrow H$

   derart gibt, dass die Diagramme

   ${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\!\!\Delta \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\otimes \Delta \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\H\otimes _{K}H&{\stackrel {\Delta \otimes \operatorname {Id} _{H}}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

   
   

   ${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\&\!\!\!\!\!\cong \searrow &\downarrow \epsilon \otimes \operatorname {Id} _{H}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\&&K\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   und

   ${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\,\,\epsilon \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\cdot S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\K&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutieren.

5. Eine Pseudoreflektion ist ein linearer Automorphismus, wenn er in einer geeigneten Basis durch eine Matrix der Form

   ${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta \end{pmatrix}},$

   wobei  ${}\zeta \neq 1$  eine Einheitswurzel ist, beschrieben werden kann.

6. Die Darstellung

   $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

   heißt vollständig reduzibel, wenn ${}V$ die direkte Summe aus ${}G$-invarianten Untervektorräumen ist, die jeweils irreduzibel sind.

Zur gelösten Aufgabe