Invariantentheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Jedes symmetrische Polynom  ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  lässt sich eindeutig als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben. D.h. es ist

   ${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }E^{\nu }\,$

   mit eindeutig bestimmten Koeffizienten

    ${}a_{\nu }\in K$. 
2. Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere und es sei

   $\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$

   die zugehörige Spektrumsabbildung.

   Dann ist ${}{\left(\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)},\iota ^{*}\right)}$ der Quotient

   der Gruppenoperation von ${}G$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.
3. Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}G$ eine affin-algebraische Gruppe über ${}K$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. ${}G$ ist linear reduktiv.
   2. Zu jeder ${}K$-rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$ besitzt  ${}V^{G}\subseteq V$  ein eindeutig bestimmtes ${}G$-Komplement  ${}W\subseteq V$.  Dabei gilt  ${}{\left({W}^{*}\right)}^{G}=0$. 
   3. Zu jeder ${}K$-rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$ und jedem ${}v\in V^{G}$, ${}v\neq 0$, gibt es eine ${}G$-invariante Linearform  ${}f\in {V}^{*}$  mit  ${}f(v)\neq 0$. 
   4. Zu jeder ${}K$-rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$ und jedem ${}G$-Untervektorraum  ${}U\subseteq V$  gibt es ein ${}G$-Komplement.

Zur gelösten Aufgabe