Invariantentheorie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einer endlichen Menge ${}M$ operiere. Es sei ${}F$ die Menge der Fixpunkte der Operation und es seien ${}M_{1},\ldots ,M_{n}$ die verschiedenen Bahnen mit mindestens zwei Elementen. Dann ist

   ${}{\#\left(M\right)}={\#\left(F\right)}+\sum _{i=1}^{n}{\#\left(M_{i}\right)}\,.$

2. Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik  ${}\operatorname {char} (K)\neq 2$.  Die alternierende Gruppe ${}A_{n}$ operiere natürlich auf  ${}V=K^{n}$.  Dann ist

   ${}K[V]^{A_{n}}=K[V]^{S_{n}}\oplus K[V]_{\operatorname {sgn} }^{S_{n}}=K[E_{1},\ldots ,E_{n}]\oplus K[E_{1},\ldots ,E_{n}]\cdot \triangle \,.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}G$ eine Gruppe und seien ${}V_{1},V_{2}$ zwei ${}K$-Vektorräume mit zwei gegebenen irreduziblen Darstellungen ${}\rho _{1}\colon G\rightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V_{1}\right)}$ und ${}\rho _{2}\colon G\rightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V_{2}\right)}$. Es sei ${}\varphi \colon V_{1}\rightarrow V_{2}$ eine lineare Abbildung mit

   ${}\sigma _{2}\circ \varphi =\varphi \circ \sigma _{1}\,$

   für alle  ${}\sigma \in G$,  wobei ${}\sigma _{i}$ den zu ${}\sigma$ gehörenden Automorphismus auf ${}V_{i}$ bezeichnet.

   Dann ist  ${}\varphi =0$  oder aber ${}\varphi$ definiert eine Äquivalenz

   der beiden Darstellungen.

Zur gelösten Aufgabe