Invariantentheorie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und

   $G\times V\longrightarrow V$

   eine lineare Operation einer Gruppe ${}G$ auf ${}V$.

   Dann ist der Fixring  ${}R^{G}\subseteq R=K[V]$  der induzierten Operation auf dem Polynomring ${}K[V]$ ein ${}\mathbb {N}$-graduierter Unterring.

   Dabei ist

   ${}{\left(R^{G}\right)}_{d}=(R_{d})^{G}\,,$

   die ${}d$-te Stufe des Fixringes ist der Fixraum

   der induzierten Operation auf der ${}d$-ten Stufe des Polynomringes.
2. Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal und ${}{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}$ eine endliche Familie von Primidealen. Es gelte  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{i}$.  Dann ist  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{i}$  für ein ${}i$.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}G$ eine endliche Gruppe, deren Ordnung kein Vielfaches der Charakteristik von ${}K$ sei. Dann ist ${}G$ linear reduktiv.

Zur gelösten Aufgabe