Invariantentheorie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf einem Integritätsbereich als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann ist

   ${}Q{\left(R^{G}\right)}=(Q(R))^{G}\,.$

2. Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich und es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Die Charaktergruppe zu ${}G$ mit Werten in der Einheitengruppe ${}R^{\times }$ sei trivial, d.h. es ist

   ${}\operatorname {Hom} \left(G,R^{\times }\right)=0\,.$

   Dann ist auch der Invariantenring

   faktoriell.
3. Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ seien ${}R$-Moduln.
   1. Die Abbildung

      $\pi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n},\,{\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}\longmapsto v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n},$

      ist ${}R$-multilinear.

   2. Es sei ${}W$ ein weiterer ${}R$-Modul und

      $\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

      eine multilineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte ${}R$-lineare Abbildung

      ${\bar {\psi }}\colon V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}\longrightarrow W$

      mit  ${}\psi ={\bar {\psi }}\circ \pi$. 

Zur gelösten Aufgabe