Invariantentheorie (Bochum 2003)/Vorlesung 2

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Definition  

Zu heißt die Untergruppe

der geraden Permutationen die alternierende Gruppe.

Zur Erinnerung: Das Signum einer Permutation gibt an, ob die Anzahl der Transpositionen zu ihrer Darstellung gerade oder ungerade ist. Im ersten Fall ist und die Permutation heißt gerade, im zweiten Fall ist und die Permutation heißt ungerade.

Die alternierende Gruppe operiert wie die volle Permutationsgruppe auf . Ein symmetrischen Polynom ist natürlich erst recht invariant unter allen geraden Permutationen, daher

Zur Beschreibung des Invariantenringes unter der alternierenden Gruppe ist der Begriff des Charakters sinnvoll.

Zur Erinnerung: Ein Charakter einer Gruppe in einem Körper ist ein Gruppenhomomorphismus

Dabei ist die Einheitengruppe des Körpers. Das ist das Gleiche wie die allgemeine lineare Gruppe . Einen Charakter kann man also auch als eine eindimensionale Darstellung ansehen.

Der bekannteste Charakter für die ist die Determinante. Jede Darstellung induziert durch

einen Charakter.


Definition  

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Operation einer Gruppe auf . Es sei

ein Charakter. Dann nennt man

die -relativen Invarianten oder Semiinvarianten.

Die Invarianten sind also die Semiinvarianten relativ zum trivialen Charakter. Die -relativen Invarianten sind ein -Untermodul von : Wenn invariant ist und -invariant, so ist



Lemma  

Es sei ein Körper der Charakteristik .

Dann gilt für die natürliche Operation der Permutationsgruppe auf dem die Gleichheit

wobei die Vandermondesche Determinante ist.

Beweis  

Das Polynom hat offenbar die Eigenschaft, dass es signumsinvariant ist, dass sich also sein Vorzeichen bei einer ungeraden Permutation umkehrt. Hierzu muss man sich nur klar machen, dass sich bei einer Transposition das Vorzeichen um ändert. Dabei kann man sich sogar auf solche Transpositionen beschränken, die zwei Nachbarn und miteinander vertauschen. Dann wird aus dem Faktor der Faktor und alle anderen Faktoren werden allenfalls vertauscht. Insgesamt wird auf abgebildet.
Wir müssen also zeigen, dass jedes signumsinvariante Polynom ein Vielfaches von ist. Der andere Faktor ist dann automatisch invariant.

Für diese Teilerbeziehung genügt es wegen der Faktorialität von zu zeigen, dass ein Teiler von ist . Wir schreiben in den neuen Variablen als

Dann ist einerseits

und anderseits (da signumsinvariant ist)

Daraus folgt wegen , dass für gerade sein muss. Insbesondere ist . Also ist , wie behauptet.


Nochmal explizit: Es geht um die Polynome, die relativ inveriant sind zur Signumsabbildung, für die also für alle Permutationen gilt. Für eine gerade Permutation muss also sein, für eine ungerade Permutation dagegen . Insbesondere sind solche Polynome invariant unter der alternierenden Gruppe.



Proposition  

Es sei eine Operation einer Gruppe auf einem kommutativen Ring durch Ringautomorphismen. Sei eine Untergruppe. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. .
  2. Sind und Untergruppen in mit , so ist
  3. Ist ein Normalteiler in , so operiert die Restklassengruppe auf durch

    Dabei ist

Beweis  

(1) ist klar.
(2). Die Voraussetzung bedeutet, dass man mit gewissen oder schreiben kann.

Die Inklusion ist nach (1) klar. Die Inklusion ist wegen

klar.
(3). Die Operation ist zunächst wohldefiniert, d.h. unabhängig vom Repräsentanten. Seien dazu gegeben mit . Dann ist

Wegen der Normalteilereigenschaft gibt es für und ein mit . Für ist

und somit gehört ebenfalls zu . Wir haben also eine Abbildung

Diese Abbildung ist in der Tat eine Gruppenoperation. Das neutrale Element wirkt identisch und die Assoziativität ergibt sich aus

Es liegt also eine Operation von auf vor, und da die Elemente identisch wirken, induziert dies eine Operation von auf . Bei den Abbildungen handelt es sich um Ringautomorphismen, da es sich um Einschränkungen von Ringautomorphismen auf handelt, wobei sich die Surjektivität aus der Existenz von ergibt.

Wir kommen zur Gleichheit

Zum Beweis der Inklusion sei . Dann ist insbesondere . Wegen ist auch - invariant. Zum Beweis der Inklusion sei . Doch dann ist für wiederum .




Satz  

Es sei ein Körper der Charakteristik . Die alternierende Gruppe operiere natürlich auf .

Dann ist

Beweis  

Die Gleichheit rechts ergibt sich aus Fakt und Fakt. Auf operiert die Restklassengruppe wie in Fakt beschrieben. Sei das nichttriviale Element daraus. Dieses wird repräsentiert durch eine beliebige ungerade Permutation, etwa durch eine Transposition. Sei ein Polynom, das invariant unter der alternierenden Gruppe ist. Nach Fakt  (3) ist unabhängig von dem gewählten Repräsentanten . Es ist

wobei die beiden Summanden symmetrisch bzw. signumsinvariant sind. Dies überprüft man, indem man die (geraden oder ungeraden) Permutationen darauf anwendet. Die Summe ist direkt, da der Durchschnitt ist: Ein Polynom, das sowohl symmetrisch als auch signumsinvariant ist, muss sein.



Beispiel  

Die natürliche Operation der alternierenden Gruppe auf dem wird durch den Zykel

erzeugt.

Besitzt dritte primitive Einheitswurzeln, so kann man die zugehörige Matrix diagonalisieren und man erhält eine neue Basis mit den Eigenvektoren

Wir führen die neuen Variablen

ein. In dieser Basis ist der erzeugende Automorphismus durch

gegeben und der Invariantenring ist in dieser Basis gleich

Die einzige Relation ist gegeben durch .

Wie sieht der Unterring der symmetrischen Polynome aus? Die Transposition lässt unverändert und vertauscht und . Das bedeutet für den alternierenden Invariantenring, dass und vertauscht werden. Der symmetrische Invariantenring ist daher

Dabei sind

und

Für die Vandermondesche Determinante gilt