- Klassifikation von Formen und ihren Nullstellengebilden
(insbesonders vom Grad 2,3 in 3 Variablen)
Form vom Grad
in
Variablen = homogenes Polynom von ...
-
quadratische binäre Form
Potenz - Anzahl von Variablen
-
quadratische ternäre Form 6 Parameter = 6-dim. Raum
-
kubische ternäre Form (10 Parameter)


glatt
singulär
prog. Nullstellengebilde
-
gleich unter einer ??? Transformation (der umgebenen projektiven Ebene)
(Aufgabe der Invariantentheorie: Welche sind gleich?)
Erlaubte Transformationen
-
-
-
= neue quadratische Form
- Quadratische Form
Welche können ineinander überführt werden?
-
(i) zur quadratischen Form gehört die symmetrische Matrix
-
-
Hauptachsentransformationsatz Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar.
(Anzahl der Nullen (in den Diagonalen?) bestimmt durch
)
(ii) ??? quadratische Form nach (i) mittels
auf die beschriebene Form bringen
1. Fall
-
2. Fall
-
-

Unter
nur die Konstruktion als invariante Polynome.
Unter
ist
-invariant und ??? den Invariantenring
-
-
-
auf ???

-
-
-singulär
singuläre Form
diskr.
5-dimensonaler Raum (Eine Gleichung in einem 6-dimensionalen Raum.
- äquivalent zu
3-dimensonal
- 0-Form 0-dimensional
-
quadratisch ??? Fall, Nullstellengebilde in
glatt
- Kubische Formenn
Was f"ur Nullstellengebilde treten auf?
-
Produkt von 3 Linearformen
.
(a1)
(a2)
(a3)
:
- ???
u.a.
-
??? heißt im Projektiven, sie haben einen Punkt gemeinsam
- und
???
-
-
induzibles quadratisches lineares Nullstellengebilde, glatter Kern, Gerade, Möglichkeiten
- gibt es im Komplexen nicht; es gibt immer eine Nullstelle (in
???)
quadratische Form (Skalarpr.)
-
1. Fall:
generell: sind
und
Linearformen mit
, dann gibt es
-invariante Abbildungen
.
Ersetze
durch
-
2. Fall:
hat auch
-???
Ersetze
durch
-
durch Transformation
-
-
induziebel
???
-
-
elliptische Kurven,
??? glatt
Achtung: Die elliptischen Kurven sind nicht alle unteinander durche eine
Matrix überführbar.
Weierstrass-Form
-
nicht homogen
(zug. Homogeniesierung
)
nicht eindeutig
???
Widerspruch
???
Widerspruch
nur solche Transformationen können W-Formen in W-Formen? überführen.
-
erlaubt nun:
Invariant:
- Konstante
- rational ??? der Form
??? Kurve ist glatt (sodass)
invariant und auf allen elliptischen Kurven definiert
-invariat
klassifiziert elliptische Kurven