Invariantentheorie (Bochum 2003)/Vorlesung 9

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Klassifikation von Formen und ihren Nullstellengebilden

(insbesonders vom Grad 2,3 in 3 Variablen)


Form vom Grad in Variablen = homogenes Polynom von ...

quadratische binäre Form

Potenz - Anzahl von Variablen

quadratische ternäre Form 6 Parameter = 6-dim. Raum

kubische ternäre Form (10 Parameter)




glatt


singulär


Invariant4.svg


Invariant6.svg


prog. Nullstellengebilde

gleich unter einer ??? Transformation (der umgebenen projektiven Ebene)

(Aufgabe der Invariantentheorie: Welche sind gleich?)

Erlaubte Transformationen

= neue quadratische Form



Quadratische Form

Welche können ineinander überführt werden?




Satz  

  1. Unter der ist jede quadratische Form in Variablen äquivalent (überführbar) zu
  2. Under den ist jede quadratische Form äquivalent zu oder .

Beweis  

(i) zur quadratischen Form gehört die symmetrische Matrix

Hauptachsentransformationsatz Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar.

(Anzahl der Nullen (in den Diagonalen?) bestimmt durch )

(ii) ??? quadratische Form nach (i) mittels auf die beschriebene Form bringen

1. Fall

2. Fall


Unter nur die Konstruktion als invariante Polynome.

Unter ist

-invariant und ??? den Invariantenring

auf ???


Cylinder5.svg


-singulär singuläre Form

diskr. 5-dimensonaler Raum (Eine Gleichung in einem 6-dimensionalen Raum.


  1. äquivalent zu 3-dimensonal
  2. 0-Form 0-dimensional

quadratisch ??? Fall, Nullstellengebilde in

Invariant7.svg


Invariant8.svg


Invariant9.svg


glatt




Kubische Formenn

Was f"ur Nullstellengebilde treten auf?

  1. Produkt von 3 Linearformen . (a1) (a2) (a3) :
    1.  ??? u.a.

      ??? heißt im Projektiven, sie haben einen Punkt gemeinsam

    2. und  ???
    3. induzibles quadratisches lineares Nullstellengebilde, glatter Kern, Gerade, Möglichkeiten



  2. gibt es im Komplexen nicht; es gibt immer eine Nullstelle (in  ???) quadratische Form (Skalarpr.)

    1. Fall:

    generell: sind und Linearformen mit , dann gibt es -invariante Abbildungen .

    Ersetze durch

    2. Fall:

    hat auch -???

    Ersetze durch

    durch Transformation

  3. induziebel  ???

    elliptische Kurven,  ??? glatt

Achtung: Die elliptischen Kurven sind nicht alle unteinander durche eine Matrix überführbar.

Invariant10.svg


Weierstrass-Form

nicht homogen

(zug. Homogeniesierung )

nicht eindeutig

 ??? Widerspruch

 ??? Widerspruch

nur solche Transformationen können W-Formen in W-Formen? überführen.

erlaubt nun:

Invariant:

- Konstante

- rational ??? der Form

 ??? Kurve ist glatt (sodass)

invariant und auf allen elliptischen Kurven definiert

-invariat

klassifiziert elliptische Kurven