Invertierbare Garbe/Übergangsabbildung/Motivation für Cech-Kohomologie/2/Beispiel

Wir knüpfen an Bemerkung an, es sei also ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und wir interessieren uns für die invertierbaren Garben auf ${}X$, und zwar für solche, die bezüglich einer fixierten offenen Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ Trivialisierungen besitzen. Diese invertierbaren Garben entsprechen den Datensätzen

$(U_{i},\,r_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}{\text{ mit }}r_{kj}\cdot r_{ki}^{-1}\cdot r_{ji}=1{\text{ in }}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}),$

wobei allerdings ein solcher Datensatz als trivial anzusehen ist, wenn es Elemente ${}s_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$ mit ${}s_{i}\cdot s_{j}^{-1}=r_{ij}$ für alle ${}i,j$ gibt. Diese Situation kann man insgesamt durch den Komplex

$\prod _{i\in I}\Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}\longrightarrow \prod _{i<j}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}\longrightarrow \prod _{i<j<k}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$

ausdrücken, wozu man auf ${}I$ eine totale Ordnung einführt und die vordere Abbildung durch

$(s_{i})\longmapsto (s_{j}s_{i}^{-1})_{i<j}$

und die hintere Abbildung durch

$(r_{ij})\longmapsto (r_{jk}r_{ik}^{-1}r_{ij})$

gegeben ist. Ein Element in der Mitte gehört genau dann zum Kern der hinteren Abbildung, wenn es die Kozykelbedingung erfüllt, und es gehört genau dann zum Bild der vorderen Abbildung, wenn es die triviale invertierbare Garbe repräsentiert.