Invertierbarer Modul/Charakterisierung/Fakt

Charakterisierungssatz für invertierbare Moduln

Es sei ${}R$ ein kommutativer noetherscher Ring und sei ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${}M$ ist invertierbar.
2. Die Lokalisierungen ${}M_{\mathfrak {m}}$ sind frei vom Rang für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ von ${}R$.
3. Es gibt Elemente  ${}f_{1},\ldots ,f_{k}\in R$,  die das Einheitsideal erzeugen derart, dass die Nenneraufnahmen ${}M_{f_{j}}$ für jedes  ${}j=1,\ldots ,k$  frei vom Rang ${}1$ sind.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen