Irreduzible Darstellungen/Gruppe/Lemma von Schur/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei  ${}\varphi \neq 0$.  Wir müssen zeigen, dass ${}\varphi$ ein Isomorphismus ist. Es sei  ${}U:=\operatorname {kern} \varphi$.  Nach Fakt ist ${}U$ ${}G$-invariant. Wegen der Irreduzibilität von ${}\rho _{1}$ ist ${}U=0$ oder ${}U=V_{1}$, wobei die zweite Möglichkeit wegen  ${}\varphi \neq 0$  ausscheidet. Also ist der Kern trivial und damit ist nach Fakt ${}\varphi$ injektiv. Es sei jetzt  ${}W:=\operatorname {bild} \varphi$.  Nach Fakt ist ${}W$ ebenfalls ${}G$-invariant. Der Fall  ${}W=0$  ist wegen  ${}\varphi \neq 0$  ausgeschlossen, also ist  ${}W=V_{2}$  wegen der Irreduzibilität von ${}\rho _{2}$ und somit ist ${}\varphi$ auch

surjektiv.

Zur gelösten Aufgabe