Jordansche Normalform/Jordan-Matrix/4/Eigenwert 3/Zweite Potenz/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}M^{2}&={\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&1&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&1&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}9&4&1&0\\0&9&4&1\\0&0&9&4\\0&0&0&9\end{pmatrix}}\\&=:N.\end{aligned}}$

Wir bestimmen die Kerne zu den Potenzen von ${}N-9E_{4}$. Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0&4&1&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}}^{2}&={\begin{pmatrix}0&4&1&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&4&1&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&16&8\\0&0&0&16\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0&4&1&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}0&4&1&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&16&8\\0&0&0&16\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&0&64\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe