K^n/Erzeugendensystem/Standardvektoren/Gleichungssystem/Fakt/Beweis

Beweis

(1) und (3) sind äquivalent, da (3) lediglich eine ausgeschriebene Version von (1) ist. Die Eigenschaft (2) ist eine Spezialisierung von (1). Die Umkehrung ergibt sich so. Man schreibt

${}w={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}=w_{1}e_{1}+\cdots +w_{m}e_{m}\,.$

Da man nach Voraussetzung die ${}e_{i}$ als Linearkombinationen der ${}v_{j}$ ausdrücken kann, ergibt sich auch eine Linearkombination von ${}w$ mit den ${}v_{j}$.

Zur bewiesenen Aussage