Körper/Transzendenzbasis/Endlich/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein Grundkörper und eine Körpererweiterung. Man sagt, dass eine Transzendenzbasis von über ist, wenn die algebraisch unabhängig sind und eine algebraische Körpererweiterung ist.


Beispiel  

Zum Polynomring über einem Körper in Variablen besitzt der Quotientenkörper

also der rationale Funktionenkörper in Variablen, die Transzendenzbasis , da die Variablen algebraisch unabhängig sind.



Beispiel  

Es sei ein Körper und ein irreduzibles Polynom, die Koeffizienten des Polynoms sind also rationale Funktionen in den Variablen . Nach Fakt ist der Restklassenring

ein Körper, und zwar eine endliche Körpererweiterung von , deren Grad durch den Grad des Polynoms gegeben ist. Insbesondere bilden die Variablen eine Transzendenzbasis von .


Wenn eine algebraische Körpererweiterung

vorliegt, so kann es natürlich trotzdem sein, dass die Form

besitzt, also isomorph zum Körper der rationalen Funktionen ist. Das einfachste Beispiel ergibt sich für .


Definition  

Eine Körpererweiterung heißt rein transzendent, wenn es algebraisch unabhängige Elemente mit gibt.

Rein transzendent bedeutet also einfach, dass es eine -Isomorphie zum Körper der rationalen Funktionen gibt. Es ist im Allgemeinen schwierig zu entscheiden, ob ein gegebener Körper rein transzendent ist. Der Quotientenkörper von ist rein transzendent (über ), der Quotientenkörper von ist hingegen nicht rein transzendent.

Wir wollen zeigen, dass die Anzahl der Elemente in einer Transzendenzbasis wohlbestimmt ist. Die Argumentation orientiert sich am Beweis des Satzes der linearen Algebra, dass die Anzahl der Elemente in einer Vektorraumbasis, also die Dimension des Vektorraumes, wohlbestimmt ist.



Lemma  

Es sei ein Grundkörper und eine Körpererweiterung mit endlichen Transzendenzbasen und .

Dann gibt es zu jedem Element der ersten Transzendenzbasis ein Element der zweiten Transzendenzbasis derart, dass ebenfalls eine Transzendenzbasis ist.

Beweis  

Wir zeigen, dass man durch eines der ersetzen kann. Da die Körpererweiterung algebraisch ist, gibt es zu jedem ein irreduzibles Polynom mit . Wir multiplizieren mit dem Hauptnenner sämtlicher Koeffizienten der und können dann annehmen, dass gilt. Nehmen wir an, dass sämtliche sogar zu gehören. Dann wäre die Körperkette

eine nach Aufgabe algebraische Erweiterung und insbesondere wäre algebraisch über im Widerspruch zur Voraussetzung, dass die algebraisch unabhängig sind. Es gibt also ein mit . Wir schreiben

mit

und . Dabei ist zumindest ein für ein . Daher können wir die Gleichung als eine algebraische Gleichung für über lesen. Dies bedeutet, dass algebraisch über ist.

Wir behaupten, dass eine Transzendenzbasis von über ist, wobei wir gerade gezeigt haben, dass darüber algebraisch ist. Es ist zu zeigen, dass diese Elemente algebraisch unabhängig sind. Wären sie algebraisch abhängig, so müsste algebraisch über sein. Doch dann wäre, wieder wegen der Transitivität von algebraisch, auch algebraisch über im Widerspruch zur Voraussetzung.




Satz  

Es sei ein Grundkörper und eine Körpererweiterung mit einer endlichen Transzendenzbasis.

Dann besitzt jede Transzendenzbasis von über gleich viele Elemente.

Beweis  

Es sei die minimale Zahl derart, dass es eine Transzendenzbasis mit Elementen gibt. Es sei eine Transzendenzbasis und eine weitere Transzendenzbasis mit

Elementen. Wir wenden Fakt sukzessive an und erhalten Transzendenzbasen

wobei die Elemente der zweiten Familie sind. Die letzte Familie ist eine Transzendenzbasis mit Elementen (es kann keine Elementwiederholungen geben wegen der vorausgesetzen Minimalität von ). Bei würde sich ein Widerspruch ergeben, da eine echte Teilfamilie einer Transzendenzbasis keine Transzendenzbasis sein kann, also ist .