Körper/Transzendenzgrad/Endlich/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Grundkörper und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung mit einer endlichen Transzendenzbasis. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in einer jeden Transzendenzbasis von ${}L$ über ${}K$ den Transzendenzgrad von ${}L$ über ${}K$. Dafür schreibt man ${}\operatorname {trdeg} {\left(L/K\right)}$.

Nach Fakt ist dieser Transzendenzgrad wohldefiniert.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper. und ${}K(X_{1},\ldots ,X_{n})\subseteq L$ eine algebraische Körpererweiterung des Körpers der rationalen Funktionen in ${}n$ Variablen.

Dann ist der Transzendenzgrad von ${}L$ über ${}K$ gleich ${}n$.

Insbesondere besitzt der Körper der rationalen Funktionen ${}K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ den Transzendenzgrad ${}n$.

Beweis

Dies folgt direkt daraus, dass die Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ eine Transzendenzbasis von ${}K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ und von ${}L$ bilden und dass man nach Fakt den Transzendenzgrad mit jeder Basis bestimmen kann.

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Korollar

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in L$ Elemente. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ sind algebraisch unabhängig.
2. Der Einsetzungshomomorphismus induziert eine ${}K$-Algebraisomorphie

   $K(X_{1},\ldots ,X_{n})\longrightarrow K(f_{1},\ldots ,f_{n}),\,X_{i}\longmapsto f_{i},$

3. Es gibt eine ${}K$-Algebraisomorphie

   $K(X_{1},\ldots ,X_{n})\longrightarrow K(f_{1},\ldots ,f_{n}).$

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt direkt aus Fakt. Von (2) nach (3) ist klar, sei also (3) erfüllt. Da eine Isomorphie vorliegt, und der Transzendenzgrad eine (wohldefinierte) invariante einer Körpererweiterung ist, besitzt der Körper ${}K(f_{1},\ldots ,f_{n})$ den Transzendenzgrad ${}n$. Von diesem Körper ist ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ eine Transzendenzbasis und insbesondere algebraisch unabhängig.

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Korollar

Es sei ${}K\subseteq L\subseteq M$ eine Kette von Körpererweiterungen.

Dann ist

${}\operatorname {trdeg} {\left(M/K\right)}=\operatorname {trdeg} {\left(L/K\right)}+\operatorname {trdeg} {\left(M/L\right)}\,.$

Beweis

Es sei ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in L$ eine Transzendenzbasis von ${}L$ über ${}K$ und ${}y_{1},\ldots ,y_{m}\in M$ eine Transzendenzbasis von ${}M$ über ${}L$. Nach Aufgabe ist ${}x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}$ algebraisch unabhängig über ${}K$. Nach Voraussetzung ist ${}K(x_{1},\ldots ,x_{n})\subseteq L$ algebraisch. Daher ist auch

${}K(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m})\subseteq L(y_{1},\ldots ,y_{m})\,$

algebraisch. Da auch ${}L(y_{1},\ldots ,y_{m})\subseteq M$ algebraisch ist, folgt mit Aufgabe, dass ${}K(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m})\subseteq M$ algebraisch ist.

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Korollar

Es sei ${}K\subseteq L\subseteq M$ eine Kette von Körpererweiterungen.

Dann ist

${}\operatorname {trdeg} {\left(L/K\right)}\leq \operatorname {trdeg} {\left(M/K\right)}\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.

$\Box$