Körper der komplexen Zahlen/Kurzübersicht

Der Körper ${}{\mathbb {C} }$

${}\bullet$ Definition

Komplexe Zahlen

Die Menge ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit

${}0:=(0,0)$ und ${}1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch

${}(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$

definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit

${\mathbb {C} }$

bezeichnet.

 

${}\bullet$ Operationen

Real- und Imaginärteil

Zu einer

komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$

heißt

${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}=a\,$

der Realteil von ${}z$ und

${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=b\,$

heißt der Imaginärteil von ${}z$.

 

Komplexe Konjugation

Die

Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}:=a-b{\mathrm {i} },$

heißt komplexe Konjugation.

 

Betrag einer komplexen Zahl

Zu einer

komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$

ist der Betrag durch

${}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

definiert.

 

${}\bullet$ Polarkoordinaten