Körpererweiterung/Norm und Spur/Einbettung/Zahlentheoretisch orientiert/Textabschnitt

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Satz  

Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad . Dann gibt es genau Einbettungen von in die komplexen Zahlen .

Beweis  

Nach dem Satz vom primitiven Element wird durch ein Element erzeugt, es ist also

mit einem irreduziblen Polynom vom Grad . Da irreduzibel ist und da die Ableitung ist und kleineren Grad besitzt, folgt, dass und teilerfremd sind. Nach Fakt ergibt sich, dass und das Einheitsideal erzeugen, also ist. Wir betrachten diese Polynome nun als Polynome in , wobei die polynomialen Identitäten erhalten bleiben. Über den komplexen Zahlen zerfallen und in Linearfaktoren, und wegen der Teilerfremdheit bzw. der daraus resultierenden Identität haben und keine gemeinsame Nullstelle. Daraus folgt wiederum, dass keine mehrfache Nullstelle besitzt, sondern genau verschiedene komplexe Zahlen als Nullstellen besitzt. Jedes definiert nun einen Ringhomomorphismus

Da ein Körper ist, ist diese Abbildung injektiv. Da dabei auf verschiedene Elemente abgebildet wird, liegen verschiedene Abbildungen vor. Es kann auch keine weiteren Ringhomomorphismen geben, da jeder solche durch gegeben ist und sein muss.


Man beachte im vorstehenden Satz, dass das Bild von verschiedenen Einbettungen

der gleiche Unterkörper von sein kann. Dies gilt bereits für quadratische Erweiterungen wie . Man hat die beiden Einbettung , wobei die eine Abbildung auf und die andere auf schickt. Das Bild ist aber in beiden Fällen gleich.

Wenn das Bild einer Einbettung ganz in den reellen Zahlen liegt, so spricht man auch von einer reellen Einbettung. Zu einem Element nennt man die verschiedenen komplexen Zahlen

zueinander konjugiert. Diese sind allesamt Nullstellen eines irreduziblen Polynoms mit rationalen Koeffizienten vom Grad .



Lemma  

Es sei eine endliche Körpererweiterung und ein Element. Es seien

die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei die Menge der verschiedenen Werte . Dann gilt in für das Minimalpolynom von die Gleichung

Beweis  

Es sei der von erzeugte Unterkörper von . Es ist dann

mit dem (normierten) Minimalpolynom von und (bzw. ) haben den Grad über . Gemäß Fakt gibt es Einbettungen , die den komplexen Nullstellen von entsprechen, und daher ist

Die Einbettungen induzieren jeweils eine Einbettung und somit ist , also . Andererseits lässt sich eine Einbettung zu einer Einbettung fortsetzen, da über separabel ist und nach dem Satz vom primitiven Element von einem Element erzeugt wird und das zugehörige Minimalpolynom über zerfällt. Daher ist auch .


Wir erwähnen ohne Beweis die folgende Beschreibung von Norm und Spur, die wir aber in der Vorlesung nicht intensiv verwenden werden.


Lemma

Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und seien die verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei und , . Dann ist

Beweis

Wir verzichten auf einen Beweis.