Körpererweiterung/Norm und Spur/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element  ${}f\in L$  nennt man die Determinante der ${}K$-linearen Abbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$

die Norm von ${}f$. Sie wird mit ${}N(f)$ bezeichnet.

Definition

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element  ${}f\in L$  nennt man die Spur der ${}K$-linearen Abbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$

die Spur von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}$ bezeichnet.

Beispiel

Es sei  ${}K\subseteq L=K[X]/(X^{n}-a)$  eine Körpererweiterung, die durch die Hinzunahme einer ${}n$-ten Wurzel aus einem Element ${}a\in K$ entstehe. Es sei ${}x$ die Restklasse von ${}X$. Dann wird ${}\mu _{x}$ bezüglich der ${}K$-Basis ${}1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ von ${}L$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&a\\1&0&\ldots &0&0\\0&1&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\ldots &1&0\end{pmatrix}}$

beschrieben. Somit ist die Norm von ${}x$ gleich ${}\pm a$ (das Vorzeichen hängt davon ab, ob ${}n$ gerade oder ungerade ist) und die Spur ist ${}0$.

Lemma

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Dann hat die Norm

$N\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto N(f),$

folgende Eigenschaften:

1. Es ist  ${}N(fg)=N(f)N(g)$. 
2. Für  ${}f\in K$  ist  ${}N(f)=f^{n}$,  wobei ${}n$ den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
3. Es ist  ${}N(f)=0$  genau dann, wenn  ${}f=0$  ist.

Beweis

1. Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Fakt.
2. Zu einer beliebigen Basis von ${}L$ wird die Multiplikation mit einen Element  ${}f\in K$  durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag ${}f$ ist. Die Determinante ist daher ${}f^{n}$ nach Fakt.
3. Die eine Richtung ist klar, sei also  ${}f\neq 0$.  Dann ist ${}f$ eine Einheit in ${}L$ und daher ist die Multiplikation mit ${}f$ eine bijektive ${}K$-lineare Abbildung ${}L\rightarrow L$, und deren Determinante ist ${}\neq 0$ nach Fakt.

$\Box$

Lemma

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$. Dann hat die Spur

$S\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto S(f),$

folgende Eigenschaften:

1. Die Spur ist ${}K$-linear, also  ${}S(f+g)=S(f)+S(g)$  und  ${}S(\lambda f)=\lambda S(f)$  für  ${}\lambda \in K$. 
2. Für  ${}f\in K$  ist  ${}S(f)=nf$. 

Beweis

Dies folgt aus den Definitionen.

$\Box$

Norm und Spur sind Elemente aus ${}K$.

Lemma

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und ${}f\in L$ mit der zugehörigen ${}K$-linearen Abbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,x\longmapsto fx.$

Dann stimmt das Minimalpolynom von ${}f$ mit dem Minimalpolynom von ${}\mu _{f}$ überein.

Beweis

Dies folgt aus dem kommutativen Diagramm

${\begin{matrix}K[X]&{\stackrel {X\mapsto f}{\longrightarrow }}&L&\\&\!\!\!\!\!X\mapsto \mu _{f}\searrow &\downarrow \mu \!\!\!\!\!&\\&&\operatorname {End} _{}\,(L)&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von Ringhomomorphismen, in dem horizontal die Einsetzungshomomorphismen stehen, und Fakt.

$\Box$

Im Minimalpolynom zu  ${}f\in L$  finden sich Norm und Spur in folgender Weise wieder.

Satz

Es sei  ${}K\subseteq L=K[f]$  eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$.

Dann hat das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ die Gestalt

${}P=X^{n}-S(f)X^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}N(f)\,.$

Beweis

Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der durch ${}f$ definierten ${}K$-linearen Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$

haben beide den Grad ${}n$. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton annulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, sodass sie übereinstimmen. Diese lineare Abbildung ${}\mu _{f}$ sei bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}L$ durch die Matrix ${}{\left(\lambda _{ij}\right)}_{ij}$ gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich

${}\chi _{\mu _{f}}\chi _{\mu _{f}}=\det {\begin{pmatrix}X-\lambda _{1,1}&\cdots &-\lambda _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\-\lambda _{n,1}&\cdots &X-\lambda _{n,n}\end{pmatrix}}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,.$

Zum Koeffizienten ${}a_{n-1}$ leisten (in der Leibniz-Formel zur Berechnung der Determinante) nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen ${}(n-1)$-mal die Variable ${}X$ vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation (also der Diagonalen) der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich ${}X^{n}-\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i,i}X^{n-1}+\ldots$, sodass also  ${}a_{n-1}=-S(f)$  gilt. Setzt man in der obigen Gleichung  ${}X=0$,  so ergibt sich, dass ${}a_{0}$ die Determinante der negierten Matrix ist, woraus  ${}a_{0}=(-1)^{n}N(f)$  folgt.

$\Box$