Körpererweiterung/Norm und Spur/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Sei eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element nennt man die Determinante der -linearen Abbildung

die Norm von . Sie wird mit bezeichnet.


Definition  

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element nennt man die Spur der -linearen Abbildung

die Spur von . Sie wird mit bezeichnet.


Beispiel  

Es sei eine Körpererweiterung, die durch die Hinzunahme einer -ten Wurzel aus einem Element entstehe. Es sei die Restklasse von . Dann wird bezüglich der -Basis von durch die Matrix

beschrieben. Somit ist die Norm von gleich (das Vorzeichen hängt davon ab, ob gerade oder ungerade ist) und die Spur ist .




Lemma  

Sei eine endliche Körpererweiterung. Dann hat die Norm

folgende Eigenschaften:

  1. Es ist .
  2. Für ist , wobei den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
  3. Es ist genau dann, wenn ist.

Beweis  

  1. Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt.
  2. Zu einer beliebigen Basis von wird die Multiplikation mit einen Element durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag ist. Die Determinante ist daher nach Fakt.
  3. Die eine Richtung ist klar, sei also . Dann ist eine Einheit in und daher ist die Multiplikation mit eine bijektive -lineare Abbildung , und deren Determinante ist nach Fakt.




Lemma  

Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad . Dann hat die Spur

folgende Eigenschaften:

  1. Die Spur ist -linear, also und für .
  2. Für ist .

Beweis  

Dies folgt aus den Definitionen.


Norm und Spur sind Elemente aus .



Lemma  

Es sei eine endliche Körpererweiterung und mit der zugehörigen -linearen Abbildung

Dann stimmt das Minimalpolynom von mit dem Minimalpolynom von überein.

Beweis  

Dies folgt aus dem kommutativen Diagramm

von Ringhomomorphismen, in dem horizontal die Einsetzungshomomorphismen stehen, und Fakt.


Im Minimalpolynom zu finden sich Norm und Spur in folgender Weise wieder.



Satz  

Sei eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad . Dann hat das Minimalpolynom von die Gestalt

Beweis  

Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der durch definierten -linearen Multiplikationsabbildung

haben beide den Grad . Nach dem Satz von Cayley-Hamilton annulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, so dass sie übereinstimmen. Sei bezüglich einer Basis von diese lineare Abbildung durch die Matrix gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich

Zum Koeffizienten leisten (in der Leibniz-Formel zur Berechnung der Determinante) nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen -mal die Variable vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation (also der Diagonalen) der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich , so dass also gilt. Setzt man in der obigen Gleichung , so ergibt sich, dass die Determinante der negierten Matrix ist, woraus folgt.