Körpererweiterung/Separabler Abschluss/Textabschnitt
Definition
Es sei eine Körpererweiterung. Unter dem separablen Abschluss (von in ) versteht man die Teilmenge , die aus allen über separablen Elementen aus besteht.
Lemma
Es sei eine Körpererweiterung und es sei , , der separable Abschluss von in . Dann gelten folgende Aussagen.
- ist ein Körper.
- Die Körpererweiterung ist separabel.
- Die über algebraischen Elemente aus sind rein-inseparabel über .
- Der separable Abschluss von in ist gleich .
Beweis
(1). Für zwei Elemente ist eine nach
Fakt
über
endliche
und nach
Fakt
separable Körpererweiterung. Also ist und ist ein Unterring. Für ist auch , so dass ein Körper vorliegt.
(2) ist klar.
(3). Es sei
algebraisch über und sei das
Minimalpolynom.
Die Charakteristik von sei , andernfalls ist die Aussage klar. Nach
Fakt
besitzt die Gestalt
mit und einem irreduziblen separablen Polynom . Für
ist ein separables annullierendes Polynom, so dass ist. Daher ist nach
Fakt
rein-inseparabel über ist.
(4) folgt aus (3).