Körpererweiterung/Separabler Abschluss/Textabschnitt

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Definition  

Sei eine Körpererweiterung. Unter dem separablen Abschluss (von in ) versteht man die Teilmenge , die aus allen über separablen Elementen aus besteht.



Lemma  

Sei eine Körpererweiterung und es sei , , der separable Abschluss von in . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. ist ein Körper.
  2. Die Körpererweiterung ist separabel.
  3. Die über algebraischen Elemente aus sind rein-inseparabel über .
  4. Der separable Abschluss von in ist gleich .

Beweis  

(1). Für zwei Elemente ist eine nach Fakt über endliche und nach Fakt separable Körpererweiterung. Also ist und ist ein Unterring. Für ist auch , so dass ein Körper vorliegt.
(2) ist klar.
(3). Sei algebraisch über und sei das Minimalpolynom. Die Charakteristik von sei , andernfalls ist die Aussage klar. Nach Fakt besitzt die Gestalt

mit und einem irreduziblen separablen Polynom . Für

ist ein separables annullierendes Polynom, so dass ist. Daher ist nach Fakt rein-inseparabel über ist.
(4) folgt aus (3).