K-Spektrum/Bijektiv stetig, nicht homöomorph/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die affine Gerade ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ und die punktierte Gerade

${}Y={\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\,,$

die affin ist, da man sie als Hyperbel realisieren kann. Wir betrachten die disjunkte Vereinigung

${}Z=Y\uplus \{P\}\,$

mit einem einzelnen Punkt. Dann erhält man einen natürlichen Morphismus

$Z\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},$

der auf ${}Y$ die offene Einbettung ist und der ${}P$ auf den Nullpunkt abbildet. Es liegt also eine Bijektion vor. Der Punkt ${}P$ ist aber links eine offene Teilmenge, rechts aber nicht, daher ist die Umkehrabbildung nicht stetig.

Zur gelösten Aufgabe