K-Spektrum/Funktorielle Eigenschaften/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein ${}K$-Algebrahomomorphismus.

Dann induziert dies eine Abbildung

$\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)},\,P\longmapsto P\circ \varphi .$

Diese Abbildung ist stetig bezüglich der Zariski-Topologie.

Beweis

Die Existenz der Abbildung ist klar, dem ${}K$-Algebrahomomorphismus

$P\colon S\longrightarrow K$

wird einfach die Hintereinanderschaltung

$R{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}S{\stackrel {P}{\longrightarrow }}K$

zugeordnet. Das Urbild der offenen Menge  ${}D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$  ist dabei

${}{\begin{aligned}(\varphi ^{*})^{-1}(D(f))&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid \varphi ^{*}(P)\in D(f)\right\}}\\&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid P\circ \varphi \in D(f)\right\}}\\&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid (P\circ \varphi )(f)\neq 0\right\}}\\&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid P(\varphi (f))\neq 0\right\}}\\&=D(\varphi (f)).\end{aligned}}$

Daher sind generell Urbilder von offenen Mengen wieder offen und die Abbildung ist stetig.

$\Box$

Die in Fakt eingeführte Abbildung ${}\varphi ^{*}$ nennt man die Spektrumsabbildung zu ${}\varphi$.

Proposition

Es sei ${}K$ ein Körper und zu einem ${}K$-Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ zwischen ${}K$-Algebren von endlichem Typ sei ${}\varphi ^{*}$ die zugehörige Spektrumsabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem ${}K$-Algebrahomomorphismus ${}P\colon R\rightarrow K$ ist die induzierte Spektrumsabbildung ${}P^{*}$ einfach die Abbildung, die dem einzigen Punkt  ${}\{\operatorname {id} \}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K\right)}$  den Punkt  ${}P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$  zuordnet.
2. Der durch ein Element  ${}F\in R$  definierte Einsetzungshomomorphismus

   $\varphi \colon K[T]\longrightarrow R,\,T\longmapsto F,$

   induziert die Spektrumsabbildung

   $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[T]\right)}={\mathbb {A} }_{K}^{1},\,P\longmapsto F(P).$

3. Zu einer surjektiven Abbildung ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ von ${}K$-Algebren von endlichem Typ ist die zugehörige Spektrumsabbildung

   $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$

   eine abgeschlossene Einbettung, und zwar ist das Bild gleich ${}V(\ker(\varphi ))$.

4. Die zu einer surjektiven Abbildung ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow S$ gehörende Spektrumsabbildung

   $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow K-\operatorname {Spek} \,(K[X_{1},\ldots ,X_{n}])\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

   stimmt mit der in Fakt definierten Abbildung überein.

5. Es seien  ${}F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  für  ${}i=1,\ldots ,m$  und es sei

   $\varphi \colon K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,Y_{i}\longmapsto F_{i},$

   der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Dann stimmt die Spektrumsabbildung

   $\varphi ^{*}\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]\right)}$

   (über die Identifizierung aus Fakt) mit der direkten polynomialen Abbildung

   $(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,F_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))$

   überein.

Beweis

(1) Dies folgt aus  ${}\operatorname {Id} \circ P=P$. 

(2) Unter der hintereinandergeschalteten Abbildung

$K[T]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}R{\stackrel {P}{\longrightarrow }}K$

wird ${}T$ auf  ${}P(F)=F(P)$  geschickt.

(3) beruht auf ähnlichen Betrachtungen, wie sie im Beweis zu Fakt durchgeführt wurden. Das zeigt auch (4). Zu (5) siehe Aufgabe.

$\Box$

Die unter (2) formulierte Aussage besagt insbesondere, dass man die Elemente des Ringes ${}R$ als Funktionen auf dem ${}K$-Spektrum ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ nach ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ auffassen kann. Wir haben also ein geometrisches Objekt eingeführt, mit dem man Ringelemente als Funktionen realisieren kann.