K-Spektrum/Irreduzible Filter, Primideale, irreduzible Teilmengen/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ mit $K$-Spektrum  $X=K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$. 

Dann entsprechen sich folgende Objekte.

1. Primideale in $R$.
2. Irreduzible abgeschlossene Teilmengen von $X$.
3. Irreduzible Filter in $X$.

Dabei entspricht der irreduziblen abgeschlossenen Teilmenge  $Y\subseteq X$  der Filter

$F(Y)=\{U\subseteq X\mid U\cap Y\ne \mathrm{\varnothing }\}.$

Der Halm der Strukturgarbe an diesem Filter ist die Lokalisierung $R_{𝔭}$, wobei $𝔭$ das zugehörige Primideal bezeichnet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen