Kanonische Regelfläche/Bemerkung

Wir gehen von der nichttrivialen kurzen exakten Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{C}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\omega _{C}^{-1}=Der\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

aus. Der Grad von ${}{\mathcal {E}}$ ist das Negative des Grades des kanonischen Divisors, also gleich  ${}-(2g-2)=-2g+2$.  Bei  ${}g=1$  ist das Bündel semistabil, aber nicht stabil ist, und bei  ${}g\geq 2$  ist es nicht semistabil. Bei  ${}g=0$  spaltet es, die Sequenz selbst spaltet aber nicht.

Wir betrachten das zugehörige projektive Bündel, also die Regelfläche ${}{\mathbb {P} }({\mathcal {E}})\rightarrow C$. Bei  ${}g\geq 1$  ist die lokal freie Garbe ${}{\mathcal {E}}$ normalisiert, besitzt also einen Schnitt, aber keine Tensorierung mit einer invertierbaren Garbe von negativem Grad besitzt einen globalen Schnitt, da dann links und rechts invertierbare Garben von negativem Grad stehen. Die ${}e$-Invariante ist

${}e=-\operatorname {deg} ({\mathcal {E}})=2g-2\,,$

also positiv für  ${}g\geq 2$.  Es gibt einen Schnitt ${}C_{0}$ derart, dass die zugehörige invertierbare Garbe gleich ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }({\mathcal {E}})}(1)$ ist. Der Selbstschnitt von ${}C_{0}$ ist  ${}C_{0}^{2}=-e=-2g+2$,  also negativ bei  ${}g\geq 2$.