Kleinsche Vierergruppe/Matrix-Darstellungen/Aufgabe

Wir interessieren uns für treue Matrix-Darstellungen der Kleinschen Vierergruppe  $G=\mathbb{Z}/(2)\times \mathbb{Z}/(2)$  über einem Körper $K$.

a) Zeige, dass es keine eindimensionale treue Darstellung von $G$ gibt.

b) Die Charakteristik von $K$ sei nicht $2$. Zeige, dass es eine zweidimensionale treue Darstellung von $G$ gibt.

c) Es sei  $K=\mathbb{Z}/(2)$.  Zeige, dass es keine zweidimensionale treue Darstellung von $G$ gibt.

d) Zeige, dass es einen Körper $K$ der Charakteristik $2$ derart gibt, dass es über $K$ eine zweidimensionale treue Darstellung von $G$ gibt.

e) Die Charakteristik von $K$ sei $2$. Zeige, dass es eine vierdimensionale treue Darstellung von $G$ gibt.

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