Kommutative Algebra/Modultheorie/Alternierende Abbildung/Matrixbeziehung/Fakt

Leibnizformel für alternierende Abbildung

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, es seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über ${}R$ und sei  ${}n\in \mathbb {N}$.  Es sei

$\psi \colon M^{n}\longrightarrow N$

eine alternierende Abbildung und es seien Vektoren  ${}v_{1},\ldots ,v_{n},w_{1},\ldots ,w_{n}\in V$  gegeben, die zueinander in der Beziehung

${}{\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

stehen, mit einer ${}n\times n$-Matrix  ${}A={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$. 

Dann ist

${}\psi \left(w_{1},\,\ldots ,\,w_{n}\right)=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )b_{1\pi (1)}\cdots b_{n\pi (n)}\psi \left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n}\right)\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen