Kommutative Algebra/Modultheorie/Direktes Produkt und Direkte Summe/Definition

Direktes Produkt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M_{i},i\in I$, eine Familie von ${}R$-Moduln. Das Produkt

${}M=\prod _{i\in I}M_{i}={\left\{(x_{i})_{i\in I}\mid x_{i}\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\right\}}\,$

der Moduln wird mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation zum ${}R$-Modul. Das bedeutet für ${}(x_{i})_{i\in I},(y_{i})_{i\in I}\in M$ und ${}r\in R$

${}(x_{i})_{i\in I}+(y_{i})_{i\in I}=(x_{i}+y_{i})_{i\in I}\,$

und

${}s(x_{i})_{i\in I}=(sx_{i})_{i\in I}\,.$

${}M$ heißt dann das direkte Produkt der ${}M_{i},i\in I$. Das ${}I$-fache direkte Produkt eines Moduls ${}M$ mit sich selbst wird als ${}M^{I}$ geschrieben.

Der Untermodul

$\bigoplus _{i\in I}M_{i}\subseteq \prod _{i\in I}M_{i},$

der aus allen ${}(x_{i})_{i\in I}$ besteht, für die ${}x_{i}=0$ für fast alle ${}i\in I$ ist, heißt direkte Summe der ${}M_{i}$.

Die ${}I$-fache direkte Summe eines Moduls ${}M$ mit sich selbst wird als ${}M^{(I)}$ geschrieben.