Kommutative Algebra/Modultheorie/Isomorphie zwischen Grundring und Raum der alternierenden Abbildungen/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ sei ein freier Modul über ${}R$ mit Basis ${}(x_{i})_{i\in \{1,...,n\}}$.

Dann ist  ${}\operatorname {Alt} _{R}(M^{n},N)\cong R$. 

Das heißt, dass der ${}R$-Modulhomomorphismus, der durch

$\phi \colon \operatorname {Alt} _{R}(M^{n},R)\longrightarrow R,\,\Psi \longmapsto \Psi ((x_{i})_{i\in \{1,...,n\}})$

gegeben ist, bijektiv ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen