Kommutative Algebra/Modultheorie/Isomorphie zwischen Grundring und Raum der alternierenden Abbildungen/Fakt/Beweis

Beweis

${}\phi$ ist klarerweise ein ${}R$-Modulhomomorphismus.

Aus Fakt ergibt sich, dass ${}\Psi$ bereits durch die die Werte auf den Basiselementen ${}(x_{i})_{i\in \{1,...,n\}}$ festgelegt, also injektiv ist.

Um die Surjektivität zu zeigen muss eine Abbildung ${}\triangle \in Alt_{R}(M^{n},R)$ gefunden werden, mit der Eigenschaft, dass ${}\triangle ((x_{i})_{i\in \{1,...,n\}})=1$ ist.

Es bietet sich die multilineare Abbildung ${}\pi \colon ((x_{i})_{i\in I})\mapsto \prod _{i}f(i)\cdot x_{i}$, mit ${}f(i):=x_{i}^{*}$, an.

Diese ist allerdings im Gegensatz zu folgender Abbildung ${}\triangle$ nicht alternierend:

$\triangle ((x_{i})_{i\in \{1,...,n\}})=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\pi \circ \sigma ,$

die Alterniertheit ergibt sich aus Fakt.

Für ${}\triangle$ gilt weiterhin ${}\triangle ((x_{i})_{i\in I})=1$.

Zu ${}r\in R$ ist ${}r\cdot \triangle \in Alt_{R}(I,M,R)$ ein Urbild, ${}\phi$ ist surjektiv und letztendlich ein Isomorphismus.

Zur bewiesenen Aussage