Kommutative Algebra/Modultheorie/Isomorphie zwischen Grundring und Raum der alternierenden Abbildungen/Fakt/Beweis

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Beweis

ist klarerweise ein -Modulhomomorphismus.

Aus Fakt ergibt sich, dass bereits durch die die Werte auf den Basiselementen festgelegt, also injektiv ist.

Um die Surjektivität zu zeigen muss eine Abbildung gefunden werden, mit der Eigenschaft, dass ist.

Es bietet sich die multilineare Abbildung , mit , an.

Diese ist allerdings im Gegensatz zu folgender Abbildung nicht alternierend:

die Alterniertheit ergibt sich aus Fakt.

Für gilt weiterhin .

Zu ist ein Urbild, ist surjektiv und letztendlich ein Isomorphismus.

Zur bewiesenen Aussage