Kommutative Algebra/Modultheorie/Torsion/Einführung/Textabschnitt
Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Ein Element heißt Torsionselement, wenn es einen Nichtnullteiler mit
gibt.
Wenn ein Torsionselement gegeben ist, so ist für alle auch ein Torsionselement, wegen der Assoziativität der Skalarmultiplikation. Auch die Summe von Torsionselementen ist wieder ein Torsionselement, da das Produkt jener Ringelemente, die die jeweiligen Summanden annullieren, die Summe annulliert. Deshalb verwendet man folgende Bezeichnung.
Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Die Menge aller Torsionselemente von bildet den Torsionsuntermodul von .
Ein Modul, der nur aus Torsionselementen besteht heißt Torsionsmodul.
Ein Modul, der außer keine Torsionselemente enthält, heißt torsionsfrei.
Über einem Integritätsbereich ist daher trivialerweise jeder torsionsfreie Modul treu. Die Umkehrung gilt jedoch nicht.