Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei injektiv, und angenommen, dass

Da die , alle verschieden sind, folgt daraus . Ist umgekehrt nicht injektiv, sagen wir , so ist auch , obwohl ist.

Ist surjektiv, so kann man für ein beliebiges Element aus sofort ein Urbild angeben, nämlich , wobei ein beliebiges Urbild von sei. Ist hingegen nicht surjektiv, so sei ein Element, das nicht zum Bild gehört. Dann ist das Monom von verschieden und kann nicht im Bild des Algebrahomomorphismus liegen.

Zur bewiesenen Aussage