Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}\varphi$ injektiv, und angenommen, dass

{}{\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}\right)}=\sum _{m\in M}a_{m}X^{\varphi (m)}=0\,.

Da die $\varphi (m),\,m\in M$ , alle verschieden sind, folgt daraus ${}a_{m}=0$ . Ist umgekehrt ${}\varphi$ nicht injektiv, sagen wir $\varphi (m)=\varphi (k),\,m\neq k$ , so ist auch ${}{\tilde {\varphi }}(X^{m})={\tilde {\varphi }}(X^{k})$ , obwohl ${}X^{m}\neq X^{k}$ ist.

Ist ${}\varphi$ surjektiv, so kann man für ein beliebiges Element ${}\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}$ aus ${}R[N]$ sofort ein Urbild angeben, nämlich ${}\sum _{n\in N}a_{n}X^{m_{n}}$ , wobei ${}m_{n}$ ein beliebiges Urbild von ${}n$ sei. Ist hingegen ${}\varphi$ nicht surjektiv, so sei ${}n\in N$ ein Element, das nicht zum Bild gehört. Dann ist das Monom ${}X^{n}$ von ${}0$ verschieden und kann nicht im Bild des Algebrahomomorphismus liegen.