Kommutative Monoidringe/Monoid mit Kürzungsregel und torsionsfrei/Grundring integer/Integer/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist  $M\subseteq \Gamma (M)$,  wobei $\mathrm{\Gamma }(M)$ die Differenzengruppe zu $M$ bezeichnet. Damit ist  $R[M]\subseteq R[\Gamma (M)]$  ein Unterring, und es genügt, die Aussage für $R[\Gamma (M)]$ zu beweisen. Da $M$ torsionsfrei ist, ist nach Aufgabe auch $\mathrm{\Gamma }(M)$ torsionsfrei. Wir können also annehmen, dass $M$ eine torsionsfreie kommutative Gruppe ist. Es sei nun

$\sum _{n\in M}{a}_n{X}^n\cdot \sum _{n\in M}{b}_n{X}^n=0.$

Da hier fast alle Koeffizienten $0$ sind, spielt sich dies in einer endlich erzeugten Untergruppe $U$ der torsionsfreien Gruppe $M$ ab. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte torsionsfreie kommutative Gruppen ist dann  $U\cong {\mathbb{Z}}^n$.  Wir können also sogar  $M={\mathbb{Z}}^n$  annehmen. Dann ist aber $R[M]$ eine Nenneraufnahme

eines Polynomringes über einem Integritätsbereich und damit integer.

Zur gelösten Aufgabe