Kommutative Ringe/Ringhomomorphismen/Gleichheitsort/Aufgabe/Lösung

Wegen

${}\varphi _{1}(0)=0=\varphi _{2}(0)\,$

gehört auch die ${}1$ zu ${}S$. Wegen

${}\varphi _{1}(1)=1=\varphi _{2}(1)\,$

gehört die ${}0$ und die ${}1$ zu ${}S$. Es sei  ${}x\in S$.  Dann ist wegen

${}\varphi _{1}(-x)=-\varphi _{1}(x)=-\varphi _{2}(x)=\varphi _{2}(-x)\,$

auch  ${}-x\in S$.  Es seien  ${}x,y\in S$.  Dann ist

${}\varphi _{1}(x+y)=\varphi _{1}(x)+\varphi _{1}(y)=\varphi _{2}(x)+\varphi _{2}(y)=\varphi _{2}(x+y)\,$

und ebenso

${}\varphi _{1}(x\cdot y)=\varphi _{1}(x)\cdot \varphi _{1}(y)=\varphi _{2}(x)\cdot \varphi _{2}(y)=\varphi _{2}(x\cdot y)\,,$

also ist auch  ${}x+y,x\cdot y\in S$. 

Also liegt ein Unterring vor.

Zur gelösten Aufgabe