Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Beispiele/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei  ${}R\subseteq S$  eine Ringerweiterung. Für ein Element  ${}x\in S$  heißt eine Gleichung der Form

${}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,,$

wobei die Koeffizienten $r_{i},\,i=0,\ldots ,n-1$, zu ${}R$ gehören, eine Ganzheitsgleichung für ${}x$.

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und  ${}R\subseteq S$  eine Ringerweiterung. Ein Element  ${}x\in S$  heißt ganz (über ${}R$), wenn ${}x$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus ${}R$ erfüllt.

Wenn  ${}R=K$  ein Körper und ${}S$ eine ${}K$-Algebra ist, so ist  ${}x\in S$  algebraisch über ${}K$ genau dann, wenn es ganz über ${}K$ ist. Dies stimmt aber im Allgemeinen nicht, siehe Aufgabe.

Die einfachsten Ganzheitsgleichungen haben die Form  ${}x^{n}-r=0$  mit  ${}r\in R$  bzw.  ${}x^{n}=r$.  Wenn also ein Element einer Ringerweiterung eine Wurzel eines Elementes aus ${}R$ ist, so ist diese Wurzel ganz über dem Grundring. Trivialerweise sind die Elemente aus ${}R$ ganz über ${}R$.

Beispiel

In der Ringerweiterung  ${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$  ist ${}{\mathrm {i} }$ ganz über ${}\mathbb {Z}$, wie die Ganzheitsgleichung

${}{\mathrm {i} }^{2}=-1\,$

zeigt. Auch für ein beliebiges Element  ${}z=a+b{\mathrm {i} }\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$  kann man direkt eine Ganzheitsgleichung angeben, nämlich

${}{\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}^{2}-2a{\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}+a^{2}+b^{2}=0\,.$

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

${}P=X^{n}+r_{n-1}X^{n-1}+\cdots +r_{2}X^{2}+r_{1}X+r_{0}\in R[X]\,$

ein normiertes Polynom über ${}R$. Dann ist in der Ringerweiterung

${}R\subseteq R[X]/(P)\,$

die Restklasse ${}x$ von ${}X$ im Restklassenring  ${}S=R[X]/(P)$  ganz über ${}R$, da ja ${}P$ unmittelbar die Ganzheitsgleichung

${}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots +r_{2}x^{2}+r_{1}x+r_{0}=0\,$

liefert.

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei  ${}R\subseteq S$  eine Ringerweiterung. Dann heißt ${}S$ ganz über ${}R$, wenn jedes Element  ${}x\in S$  ganz über ${}R$ ist.

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und  ${}R\subseteq S$  eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente  ${}x\in S$,  die ganz über ${}R$ sind, den ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}S$.

${}S$ ist genau dann ganz über ${}R$, wenn der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}S$ gleich ${}S$ ist.

Wir wollen zeigen, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Der vermutlich erste Gedanke, die jeweiligen Ganzheitsgleichungen miteinander „geschickt“ zu kombinieren, führt nicht zum Ziel. Stattdessen braucht man das folgende Kriterium für die Ganzheit.

Lemma

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und  ${}R\subseteq S$  eine Ringerweiterung. Für ein Element  ${}x\in S$  sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}x$ ist ganz über ${}R$.
2. Es gibt eine ${}R$-Unteralgebra ${}T$ von ${}S$ mit  ${}x\in T$  und die ein endlicher ${}R$-Modul ist.
3. Es gibt einen endlichen ${}R$-Untermodul ${}M$ von ${}S$, der einen Nichtnullteiler aus ${}S$ enthält, mit  ${}xM\subseteq M$. 

Beweis

(1) ${}\Rightarrow$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von ${}x$ erzeugte ${}R$-Unteralgebra ${}R[x]$ von ${}S$, die aus allen polynomialen Ausdrücken in ${}x$ mit Koeffizienten aus ${}R$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung

${}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,$

ergibt sich

${}x^{n}=-r_{n-1}x^{n-1}-r_{n-2}x^{n-2}-\cdots -r_{1}x-r_{0}\,.$

Man kann also ${}x^{n}$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit ${}x^{i}$ kann man jede Potenz von ${}x$ mit einem Exponenten ${}\geq n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad ${}\leq n-1$ ersetzen. Damit ist

${}R[x]=R+Rx+Rx^{2}+\cdots +Rx^{n-2}+Rx^{n-1}\,$

und die Potenzen ${}x^{0}=1,x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ bilden ein endliches ${}R$-Modul-Erzeugendensystem von  ${}T=R[x]$. 

(2) ${}\Rightarrow$ (3). Es sei  ${}x\in T\subseteq S$,  ${}T$ eine ${}R$-Unteralgebra, die als ${}R$-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist  ${}xT\subseteq T$,  und ${}T$ enthält den Nichtnullteiler ${}1$.

(3) ${}\Rightarrow$ (1). Sei  ${}M\subseteq S$  ein endlich erzeugter ${}R$-Untermodul mit  ${}xM\subseteq M$.  Es seien ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ erzeugende Elemente von ${}M$. Dann ist insbesondere ${}xy_{i}$ für jedes ${}i$ eine ${}R$-Linearkombination der $y_{j},\,j=1,\ldots ,n$. Dies bedeutet

${}xy_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}y_{j}\,$

mit  ${}r_{ij}\in R$,  oder, als Matrix geschrieben,

${}x{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1,1}&r_{1,2}&\ldots &r_{1,n}\\r_{2,1}&r_{2,2}&\ldots &r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n,1}&r_{n,2}&\ldots &r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Dies schreiben wir als

${}0={\begin{pmatrix}x-r_{1,1}&-r_{1,2}&\ldots &-r_{1,n}\\-r_{2,1}&x-r_{2,2}&\ldots &-r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-r_{n,1}&-r_{n,2}&\ldots &x-r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Nennen wir diese Matrix ${}A$ (die Einträge sind aus ${}S$), und sei ${}A^{\operatorname {adj} }$ die adjungierte Matrix. Dann gilt  ${}A^{\operatorname {adj} }Ay=0$  (${}y$ bezeichne den Vektor $(y_{1},\ldots ,y_{n})$) und nach der Cramerschen Regel ist  ${}A^{\operatorname {adj} }A=(\det A)E_{n}$,  also gilt

${}((\det A)E_{n})y=0\,.$

Es ist also  ${}(\det A)y_{j}=0$  für alle ${}j$ und damit

${}(\det A)z=0\,$

für alle  ${}z\in M$.  Da ${}M$ nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss  ${}\det A=0$  sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in ${}x$ vom Grad ${}n$, sodass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.

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Korollar

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei  ${}R\subseteq S$  eine Ringerweiterung.

Dann ist der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}S$ eine ${}R$-Unteralgebra von ${}S$.

Beweis

Die Ganzheitsgleichungen $X-r,\,r\in R$, zeigen, dass jedes Element aus ${}R$ ganz über ${}R$ ist. Es seien  ${}x_{1}\in S$  und  ${}x_{2}\in S$  ganz über ${}R$. Nach der Charakterisierung der Ganzheit gibt es endliche ${}R$-Unteralgebren  ${}T_{1},T_{2}\subseteq S$  mit  ${}x_{1}\in T_{1}$  und  ${}x_{2}\in T_{2}$.  Es sei ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ ein ${}R$-Erzeugendensystem von ${}T_{1}$ und ${}z_{1},\ldots ,z_{m}$ ein ${}R$-Erzeugendensystem von ${}T_{2}$. Wir können annehmen, dass  ${}y_{1}=z_{1}=1$  ist. Betrachte den endlich erzeugten ${}R$-Modul

${}T=T_{1}\cdot T_{2}=\langle y_{i}z_{j},\,i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,m\rangle \,,$

der offensichtlich ${}x_{1}+x_{2}$ und ${}x_{1}x_{2}$ (und ${}1$) enthält. Dieser ${}R$-Modul ${}T$ ist auch wieder eine ${}R$-Algebra, da für zwei beliebige Elemente gilt

${}{\left(\sum r_{ij}y_{i}z_{j}\right)}{\left(\sum s_{kl}y_{k}z_{l}\right)}=\sum r_{ij}s_{kl}y_{i}y_{k}z_{j}z_{l}\,,$

und für die Produkte gilt  ${}y_{i}y_{k}\in T_{1}$  und  ${}z_{j}z_{l}\in T_{2}$,  sodass diese Linearkombination zu ${}T$ gehört. Dies zeigt, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Deshalb ist der ganze Abschluss ein Unterring von ${}S$, der ${}R$ enthält. Also liegt eine ${}R$-Unteralgebra vor.

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