Kommutative Ringtheorie/Lokalisierungen/ist Ring/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Inklusion ist klar. Sei also und sei angenommen, gehöre zum Durchschnitt rechts. Für jedes maximale Ideal ist also , d.h. es gibt und mit . Wir betrachten das Ideal

Dieses Ideal ist in keinem maximalen Ideal enthalten, also muss es nach dem Lemma von Zorn das Einheitsideal sein. Es gibt also endlich viele maximale Ideale , und mit

wobei gesetzt wurde. Damit ist

Wir schreiben

Also gehört zu .

Zur bewiesenen Aussage