Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt maximales Ideal, wenn ist und wenn es zwischen und keine weiteren Ideale gibt.




Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in .

Dann ist genau dann ein maximales Ideal, wenn der Restklassenring ein Körper ist.

Beweis  

Nach Aufgabe entsprechen die Ideale im Restklassenring eindeutig den Idealen in zwischen und . Nun ist ein Körper genau dann, wenn es genau nur zwei Ideale gibt, und dies ist genau dann der Fall, wenn ist und es dazwischen kein weiteres Ideal gibt. Dies bedeutet, dass maximal ist.




Lemma  

In einem kommutativen Ring

gibt es maximale Ideale.

Beweis  

Wir betrachten die Menge

Diese Menge enthält das Nullideal und ist somit nicht leer. Wir wollen das Lemma von Zorn auf (mit der Inklusion als Ordnungsrelation) anwenden. Dazu sei eine total geordnete Teilmenge. Wir setzen

Man zeigt nun, dass ein Ideal ist, das nicht die enthält. Also gehört es zu und es bildet eine obere Schranke für . Das Lemma von Zorn liefert dann maximale Elemente in , und dies sind maximale Ideale.