Kommutative Ringtheorie/Monoidringe/Zusammenstellung/Textabschnitt

Definition

Es sei $M$ ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und $R$ ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring $R[M]$ wie folgt konstruiert. Als $R$-Modul ist

$R[M]=\underset{m\in M}{⨁}R{e}_m,$

d.h. $R[M]$ ist der freie Modul mit Basis $e_m$, $m\in M$. Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch

$e_m\cdot e_k:=e_{m+k}$

definiert und auf ganz $R[M]$ distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element  $0\in M$  das neutrale Element  $1=e_0$  der Multiplikation.

Bemerkung  

Ein Element in einem Monoidring lässt sich eindeutig als

$f=\sum _{m\in \tilde{M}}{a}_m{e}_m,$

schreiben, wobei  $\tilde{M}\subseteq M$  eine endliche Teilmenge ist und  $a_m\in R$.  Addiert wird komponentenweise und die Multiplikation ist explizit durch

$f\cdot g=\left(\sum _{m\in \tilde{M}}{a}_m{e}_m\right)\left(\sum _{k\in \overline{M}}{b}_k{e}_k\right)=\sum _{\ell \in M}\left(\sum _{m+k=\ell ,m\in \tilde{M},k\in \overline{M}}{a}_m{b}_k\right)e_{\ell }$

gegeben. Dies ist mit distributiver Fortsetzung gemeint. Die Menge der $\ell$, über die hier summiert wird, ist endlich, und auch die inneren Summen sind jeweils endlich.

Es ist üblich, statt $e_m$ suggestiver $X^m$ zu schreiben, wobei $X$ ein Symbol ist, das an eine Variable erinnern soll. Die Multiplikationsregel  $X^m{X}^k=X^{m+k}$  erinnert dann an die entsprechende Regel für Polynomringe. In der Tat sind Polynomringe Spezialfälle von Monoidringen, und diese Notation stammt von dort. Auch ein exakter Beweis, dass in der Tat ein Ring mit assoziativer und distributiver Multiplikation vorliegt, funktioniert wie im Fall von Polynomringen. Meistens schreibt man ein Element einfach als $\sum _{m\in M}{a}_m{X}^m$, wobei fast alle  $a_m=0$  sind. Elemente der Form $X^m$ nennt man Monome. Die Abbildung $M⟶R[M]$, $m⟼X^m$, ist ein Monoidhomomorphismus, wobei rechts die multiplikative Monoidstruktur des Monoidringes genommen wird.

Ein Monoidring ist in natürlicher Weise eine $R$-Algebra, und zwar sind die Elemente $f$ aus $R$ aufgefasst in $R[M]$ gleich

$f=f\cdot 1=f{X}^0.$

Man nennt daher auch $R$ den Grundring des Monoidringes. Monoidringe sind bereits für Grundkörper interessant.

Beispiel

Es sei $n$ eine natürliche Zahl und  $M={\mathbb{N}}^n$  das $n$-fache direkte Produkt der natürlichen Zahlen. Ein Element  $k\in {\mathbb{N}}^n$  ist also ein $n$-Tupel $(k_1,\dots ,k_n)$ mit  $k_i\in \mathbb{N}$.  Dies kann man auch als

$(k_1,\dots ,k_n)=k_1(1,0,0,\dots ,0)+k_2(0,1,0,\dots ,0)+\cdots +k_n(0,0,0,\dots ,1)$

schreiben. Damit lässt sich das zugehörige Monom $X^k$ eindeutig als

$X^k=X_1^{k_1}{X}_2^{k_2}\cdots X_n^{k_n}$

schreiben, wobei wir  $X_i=X^{e_i}=X^{(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)}$  für das Monom zum $i$-ten Basiselement geschrieben haben. Das bedeutet aber, dass der Monoidring zum Monoid ${\mathbb{N}}^n$ über $R$ genau der Polynomring in $n$ Variablen ist. Insbesondere ist  $R[\mathbb{N}]=R[X]$.  Der Monoidring zum trivialen Monoid $\{0\}$ ist der Grundring selbst.

Beispiel

Es sei $n$ eine natürliche Zahl und  $M={\mathbb{Z}}^n$  das $n$-fache direkte Produkt der ganzen Zahlen. $M$ ist also die freie kommutative Gruppe vom Rang $n$. Jedes Element  $k\in {\mathbb{Z}}^n$  ist ein $n$-Tupel $(k_1,\dots ,k_n)$ mit  $k_i\in \mathbb{Z}$.  Dies kann man auch als

$(k_1,\dots ,k_n)=k_1(1,0,0,\dots ,0)+k_2(0,1,0,\dots ,0)+\cdots +k_n(0,0,0,\dots ,1)$

schreiben und das zugehörige Monom $X^k$ kann man eindeutig als

$X^k=X_1^{k_1}{X}_2^{k_2}\cdots X_n^{k_n}$

mit  $k_i\in \mathbb{Z}$  schreiben, wobei wir wie in Beispiel  $X_i=X^{e_i}$  geschrieben haben. Für diesen Monoidring schreibt man auch

$R[M]=R[X_1,\dots ,X_n,X_1^{-1},\dots ,X_n^{-1}],$

und dieser ist isomorph zur Nenneraufnahme des Polynomringes am Produkt der Variablen, also

$R[M]=R[X_1,\dots ,X_n,X_1^{-1},\dots ,X_n^{-1}]=R[X_1,\dots ,X_n{]}_{X_1\cdots X_n},$

Diesen Ring nennt man auch den Laurent-Ring in $n$ Variablen über $R$.

Satz

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $M$ ein kommutatives Monoid. Es sei $B$ eine kommutative $R$-Algebra und

$\phi :M⟶B$

ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von $B$).

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten $R$-Algebrahomomorphismus

$\tilde{\phi }:R[M]⟶B$

derart, dass das Diagramm

$\begin{array}{cccc}M& \stackrel{}{⟶}& R[M]& \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & B& \end{array}$

kommutiert.

Beweis

Ein $R$-Modulhomomorphismus $\tilde{\phi }:R[M]\to B$ ist festgelegt durch die Bilder der Basiselemente $X^m$, $m\in M$. Das Diagramm kommutiert genau dann, wenn  $\tilde{\phi }\left(X^m\right)=\phi (m)$  ist. Durch diese Bedingung ist die Abbildung also eindeutig festgelegt und ist bereits ein $R$-Modulhomomorphismus. Es ist zu zeigen, dass dieser Homomorphismus auch die Multiplikation respektiert. Es ist  $\tilde{\phi }(1)=\tilde{\phi }\left(X^0\right)=\phi (0)=1$.  Ferner ist

$\tilde{\phi }\left(X^m{X}^k\right)=\tilde{\phi }\left(X^{m+k}\right)=\phi (m+k)=\phi (m)\cdot \phi (k)=\tilde{\phi }\left(X^m\right)\cdot \tilde{\phi }\left(X^k\right).$

Auf der Ebene der Monome respektiert die Abbildung also die Multiplikation. Daraus folgen für Elemente  $f=\sum _{m\in M}{a}_m{X}^m$  und  $g=\sum _{k\in M}{b}_k{X}^k$  die Identitäten

$\begin{array}{cc}\tilde{\phi }\left(\left(\sum _{m\in M}{a}_m{X}^m\right)\left(\sum _{k\in M}{b}_k{X}^k\right)\right)& =\tilde{\phi }\left(\sum _{\ell \in M}\left(\sum _{m+k=\ell }{a}_m{b}_k\right)X^{\ell }\right)\\ & =\sum _{\ell \in M}\left(\sum _{m+k=\ell }{a}_m{b}_k\right)\phi (\ell )\\ & =\sum _{m,k\in M}{a}_m{b}_k\phi (m)\phi (k)\\ & =(\sum _{m\in M}{a}_m\phi (m))(\sum _{k\in M}{b}_k\phi (k))\\ & =\tilde{\phi }\left(\sum _{m\in M}{a}_m{X}^m\right)\tilde{\phi }\left(\sum _{k\in M}{b}_k{X}^k\right),\end{array}$

sodass die Abbildung ein Ringhomomorphismus ist.

$◻$

Bemerkung  

Eine Familie von Elementen $m_i\in M$, $i\in I$, in einem Monoid $M$ ergibt einen Monoidhomomorphismus ${\mathbb{N}}^{(I)}\to M$, indem das $i$-te Basiselement $e_i$ auf $m_i$ geschickt wird. Dies ist insbesondere für endliche Indexmengen  $I=\{1,\dots ,n\}$  relevant. Der Monoidhomomorphismus induziert dann nach Fakt einen $R$-Algebrahomomorphismus $R[{\mathbb{N}}^n]=R[X_1,\dots ,X_n]\to R[M]$ von der Polynomalgebra in den Monoidring. Diese Abbildung ist der Einsetzungshomomorphismus, der durch $X_i\mapsto X^{m_i}$ gegeben ist.

Definition

Zu einem kommutativen Monoid $M$ und einem kommutativen Ring $R$ nennt man einen Monoidhomomorphismus

$M⟶(R,\cdot ,1)$

auch einen $R$-wertigen Punkt von $M$.

Bemerkung  

Ein $R$-wertiger Punkt eines Monoids $M$ ist nach Fakt äquivalent zu einem $R$-Algebrahomomorphismus von $R[M]$ nach $R$. Diese Sprechweise ist insbesondere im Fall eines Grundkörpers $K$ üblich. Dann haben wir also

$K-\mathrm{Spek}(K[M])={\mathrm{Hom}}_K^{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}}(K[M],K)={\mathrm{Mor}}_{\mathrm{mon}}(M,K)=\{K-\text{wertige Punkte von }M\}.$

Das bedeutet, dass hier das $K$-Spektrum bereits auf der Ebene des Monoids eine einfache Beschreibung besitzt, die rein multiplikativ ist. Das impliziert, wie wir sehen werden, dass es für die $K$-Spektren der Monoidringe im Allgemeinen eine viel übersichtlichere Beschreibung gibt als sonst. Man beachte allerdings, dass zur Definition der Zariski-Topologie und der Garbe der algebraischen Funktionen auf $K-\mathrm{Spek}(K[M])$ der Monoidring unverzichtbar ist.

Korollar

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Es seien $M$ und $N$ kommutative Monoide und sei

$\phi :M⟶N$

ein Monoidhomomorphismus.

Dann induziert dies einen $R$-Algebrahomomorphismus zwischen den zugehörigen Monoidringen

$\tilde{\phi }:R[M]⟶R[N],X^m⟼X^{\phi (m)}.$

Beweis

Dies folgt aus Fakt angewandt auf die $R$-Algebra  $B=R[N]$  und den zusammengesetzten Monoidhomomorphismus $M\stackrel{\phi }{\to }N\to R[N]$.

$◻$

Lemma

Es sei $R$ ein von $0$ verschiedener kommutativer Ring. Es seien $M$ und $N$ kommutative Monoide und sei $\phi :M\to N$ ein Monoidhomomorphismus.

Dann ist $\phi$ genau dann injektiv (surjektiv), wenn der zugehörige $R$-Algebrahomomorphismus $\tilde{\phi }:R[M]\to R[N]$ injektiv (surjektiv) ist.

Beweis

Es sei $\phi$ injektiv, und angenommen, dass

$\tilde{\phi }\left(\sum _{m\in M}{a}_m{X}^m\right)=\sum _{m\in M}{a}_m{X}^{\phi (m)}=0.$

Da die $\phi (m),m\in M$, alle verschieden sind, folgt daraus  $a_m=0$.  Ist umgekehrt $\phi$ nicht injektiv, sagen wir $\phi (m)=\phi (k),m\ne k$, so ist auch  $\tilde{\phi }(X^m)=\tilde{\phi }(X^k)$,  obwohl  $X^m\ne X^k$  ist.

Ist $\phi$ surjektiv, so kann man für ein beliebiges Element $\sum _{n\in N}{a}_n{X}^n$ aus $R[N]$ sofort ein Urbild angeben, nämlich $\sum _{n\in N}{a}_n{X}^{m_n}$, wobei $m_n$ ein beliebiges Urbild von $n$ sei. Ist hingegen $\phi$ nicht surjektiv, so sei  $n\in N$  ein Element, das nicht zum Bild gehört. Dann ist das Monom $X^n$ von $0$ verschieden und kann nicht im Bild des Algebrahomomorphismus liegen.

$◻$

Korollar

Es sei $R$ ein von $0$ verschiedener kommutativer Ring. Es sei $M$ ein kommutatives Monoid und $m_i\in M,i\in I$, eine Familie von Elementen aus $M$.

Dann bilden die $m_i$ genau dann ein Monoid-Erzeugendensystem für $M$, wenn die $X^{m_i},i\in I$, ein $R$-Algebra-Erzeugendensystem für den Monoidring $R[M]$ bilden.

Beweis

Die $m_i,i\in I$, bilden genau dann ein Monoid-Erzeugendensystem für $M$, wenn der Monoidhomomorphismus ${\mathbb{N}}^{(I)}\to M$ surjektiv ist. Dies ist nach Fakt genau dann der Fall, wenn der zugehörige Homomorphismus

$R[X_i,i\in I]⟶R[M],X_i⟼X^{m_i},$

surjektiv ist. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn die $X^{m_i}$ ein $R$-Algebra-Erzeugendensystem bilden.

$◻$

Korollar

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $S$ eine $R$-Algebra. Es sei $M$ ein kommutatives Monoid.

Dann gibt es einen natürlichen $R$-Algebrahomomorphismus

$R[M]⟶S[M],\sum _{m\in M}{a}_m{X}^m⟼\sum _{m\in M}{a}_m{X}^m,$

(die Koeffizienten aus $R$ werden also einfach in $S$ aufgefasst).

Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewandt auf die $R$-Algebra $S[M]$ und den Monoidhomorphismus $M\to S[M]$.

$◻$