Kommutative Ringtheorie/Monoidringe/Zusammenstellung/Textabschnitt

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Definition (Monoidring)  

Sei ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring wie folgt konstruiert. Als -Modul ist

d.h. ist der freie Modul mit Basis , . Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch

definiert und auf ganz distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element das neutrale Element der Multiplikation.

Bemerkung (Erste Eigenschaften von Monoidringen)  

Ein Element in einem Monoidring lässt sich eindeutig als

schreiben, wobei eine endliche Teilmenge ist und . Addiert wird komponentenweise und die Multiplikation ist explizit durch

gegeben. Dies ist mit distributiver Fortsetzung gemeint. Die Menge der , über die hier summiert wird, ist endlich, und auch die inneren Summen sind jeweils endlich.

Es ist üblich, statt suggestiver zu schreiben, wobei ein Symbol ist, das an eine Variable erinnern soll. Die Multiplikationsregel erinnert dann an die entsprechende Regel für Polynomringe. In der Tat sind Polynomringe Spezialfälle von Monoidringen, und diese Notation stammt von dort. Auch ein exakter Beweis, dass in der Tat ein Ring mit assoziativer und distributiver Multiplikation vorliegt, funktioniert wie im Fall von Polynomringen. Meistens schreibt man ein Element einfach als , wobei fast alle sind. Elemente der Form nennt man Monome. Die Abbildung , , ist ein Monoidhomomorphismus, wobei rechts die multiplikative Monoidstruktur des Monoidringes genommen wird.

Ein Monoidring ist in natürlicher Weise eine -Algebra, und zwar sind die Elemente aus aufgefasst in gleich

Man nennt daher auch den Grundring des Monoidringes. Monoidringe sind bereits für Grundkörper interessant.



Beispiel (Polynomring als Monoidring)  

Sei eine natürliche Zahl und das -fache direkte Produkt der natürlichen Zahlen. Ein Element ist also ein -Tupel mit . Dies kann man auch als

schreiben. Damit lässt sich das zugehörige Monom eindeutig als

schreiben, wobei wir für das Monom zum -ten Basiselement geschrieben haben. Das bedeutet aber, dass der Monoidring zum Monoid über genau der Polynomring in Variablen ist. Insbesondere ist . Der Monoidring zum trivialen Monoid ist der Grundring selbst.



Beispiel (Laurentring als Monoidring)  

Sei eine natürliche Zahl und das -fache direkte Produkt der ganzen Zahlen. ist also die freie kommutative Gruppe vom Rang . Jedes Element ist ein -Tupel mit . Dies kann man auch als

schreiben und das zugehörige Monom kann man eindeutig als

mit schreiben, wobei wir wieder geschrieben haben. Für diesen Monoidring schreibt man auch

und dieser ist isomorph zur Nenneraufnahme des Polynomringes am Produkt der Variablen, also

Diesen Ring nennt man auch den Laurent-Ring in Variablen über .




Satz (Universelle Eigenschaft der Monoidringe)  

Sei ein kommutativer Ring und sei ein kommutatives Monoid. Sei eine kommutative -Algebra und

ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von ).

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten -Algebrahomomorphismus

derart, dass das Diagramm

kommutiert.

Beweis  

Ein -Modulhomomorphismus ist festgelegt durch die Bilder der Basiselemente , . Das Diagramm kommutiert genau dann, wenn ist. Durch diese Bedingung ist die Abbildung also eindeutig festgelegt und ist bereits ein -Modulhomomorphismus. Es ist zu zeigen, dass dieser Homomorphismus auch die Multiplikation respektiert. Es ist . Ferner ist

Auf der Ebene der Monome respektiert die Abbildung also die Multiplikation. Daraus folgen für Elemente und die Identitäten

so dass die Abbildung ein Ringhomomorphismus ist.


Bemerkung  

Eine Familie von Elementen , , in einem Monoid ergibt einen Monoidhomomorphismus , indem das -te Basiselement auf geschickt wird. Dies ist insbesondere für endliche Indexmengen relevant. Der Monoidhomomorphismus induziert dann nach Fakt einen -Algebrahomomorphismus von der Polynomalgebra in den Monoidring. Diese Abbildung ist der Einsetzungshomomorphismus, der durch gegeben ist.



Definition  

Zu einem kommutativen Monoid und einem kommutativen Ring nennt man einen Monoidhomomorphismus

auch einen -wertigen Punkt von .

Bemerkung  

Ein -wertiger Punkt ist nach Fakt äquivalent zu einem -Algebrahomomorphismus von nach . Diese Sprechweise ist insbesondere im Fall eines Grundkörpers üblich. Dann haben wir also

Das bedeutet, dass hier das -Spektrum bereits auf der Ebene des Monoids eine einfache Beschreibung besitzt, die rein multiplikativ ist. Das impliziert, wie wir sehen werden, dass es für die -Spektren der Monoidringe im Allgemeinen eine viel übersichtlichere Beschreibung gibt als sonst. Man beachte allerdings, dass zur Definition der Zariski-Topologie und der Garbe der algebraischen Funktionen auf der Monoidring unverzichtbar ist.




Korollar (Funktorialität im Monoid)  

Sei ein kommutativer Ring. Seien und kommutative Monoide und sei

ein Monoidhomomorphismus.

Dann induziert dies einen -Algebrahomomorphismus zwischen den zugehörigen Monoidringen

Beweis  

Dies folgt aus Fakt angewandt auf die -Algebra und den zusammengesetzten Monoidhomomorphismus .




Lemma  

Sei ein von verschiedener kommutativer Ring. Seien und kommutative Monoide und sei ein Monoidhomomorphismus.

Dann ist genau dann injektiv (surjektiv), wenn der zugehörige -Algebrahomomorphismus injektiv (surjektiv) ist.

Beweis  

Sei injektiv, und angenommen, dass

Da die , alle verschieden sind, folgt daraus . Ist umgekehrt nicht injektiv, sagen wir , so ist auch , obwohl ist.

Ist surjektiv, so kann man für ein beliebiges Element aus sofort ein Urbild angeben, nämlich , wobei ein beliebiges Urbild von sei. Ist hingegen nicht surjektiv, so sei ein Element, das nicht zum Bild gehört. Dann ist das Monom von verschieden und kann nicht im Bild des Algebrahomomorphismus liegen.




Korollar  

Sei ein von verschiedener kommutativer Ring. Sei ein kommutatives Monoid und , eine Familie von Elementen aus .

Dann bilden die genau dann ein Monoid-Erzeugendensystem für , wenn die , ein -Algebra-Erzeugendensystem für den Monoidring bilden.

Beweis  

Die , bilden genau dann ein Monoid-Erzeugendensystem für , wenn der Monoidhomomorphismus surjektiv ist. Dies ist nach Fakt genau dann der Fall, wenn der zugehörige Homomorphismus

surjektiv ist. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn die ein -Algebra-Erzeugendensystem bilden.




Korollar (Funktorialität im Ring)  

Sei ein kommutativer Ring und eine -Algebra. Es sei ein kommutatives Monoid.

Dann gibt es einen natürlichen -Algebrahomomorphismus

(die Koeffizienten aus werden also einfach in aufgefasst).

Beweis  

Dies folgt aus Fakt, angewandt auf die -Algebra und den Monoidhomorphismus .