Kommutative Ringtheorie/Nilpotentes Element/1+a ist Einheit/Aufgabe/Lösung

Es sei  ${}f^{k}=0$.  Dann ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,(1+f){\left(1-f+f^{2}-f^{3}+f^{4}\pm \ldots \pm f^{k-1}\right)}\\&=1-f+f^{2}-f^{3}+f^{4}\pm \ldots \pm f^{k-1}+f-f^{2}+f^{3}-f^{4}\mp \ldots \mp f^{k-1}\\&=1.\,\end{aligned}}$

Das Element ${}1-f+f^{2}-f^{3}+f^{4}\pm \ldots \pm f^{k-1}$ ist also invers zu ${}1+f$ und dieses ist eine Einheit.

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