Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine und mehrere Variablen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Der Polynomring über einem kommutativen Ring ${}R$ besteht aus allen Polynomen

$P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$

mit ${}a_{i}\in R,\,i=0,\ldots ,n,\,n\in \mathbb {N}$,

und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

definiert ist.

Darauf aufbauend kann man auch Polynomringe in mehreren Variablen definieren. Man setzt

$K[X,Y]:=(K[X])[Y],\,K[X,Y,Z]:=(K[X,Y])[Z],$

etc. Ein Polynom in ${}n$ Variablen hat die Gestalt

${}F=\sum _{(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})}a_{(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,.$

Es wird dabei summiert über eine endliche Familie von Exponententupel ${}(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})$. Die Ausdrücke ${}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}$ nennt man auch Monome. Ein Polynom schreibt man zumeist abkürzend als  ${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }$.  Das Produkt von zwei Monomen bedeutet Addition der Exponententupel, also

${}{\left(X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\right)}\cdot {\left(X_{1}^{\mu _{1}}\cdots X_{n}^{\mu _{n}}\right)}:=X_{1}^{\nu _{1}+\mu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}+\mu _{n}}\,.$